Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78008 / 57464
↖ ↑ ↗
← N 21.637005°
E 34.255371°		 ← 283.90 m → N 21.637005°
E 34.258118°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.634452°
E 34.255371°		 ← 283.91 m →
80 599 m²		 N 21.634452°
E 34.258118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595157623291016 y=0.438419342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595157623291016 × 217)
    floor (0.595157623291016 × 131072)
    floor (78008.5)     		tx = 78008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438419342041016 × 217)
    floor (0.438419342041016 × 131072)
    floor (57464.5)     		ty = 57464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78008 / 57464 ti = "17/78008/57464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78008/57464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78008 ÷ 217
    78008 ÷ 131072     		x = 0.59515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57464 ÷ 217
    57464 ÷ 131072     		y = 0.43841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59515380859375 × 2 - 1) × π
    0.1903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59786901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    0.1231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.386946653733093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59786901} λ = 0.59786901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386946653733093))-π/2
    2×atan(1.4724779379768)-π/2
    2×0.974216653994796-π/2
    1.94843330798959-1.57079632675     		φ = 0.37763698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59786901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.255371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37763698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.637005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78008 KachelY 57464 0.59786901 0.37763698 34.255371 21.637005
    Oben rechts KachelX + 1 78009 KachelY 57464 0.59791695 0.37763698 34.258118 21.637005
    Unten links KachelX 78008 KachelY + 1 57465 0.59786901 0.37759242 34.255371 21.634452
    Unten rechts KachelX + 1 78009 KachelY + 1 57465 0.59791695 0.37759242 34.258118 21.634452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37763698-0.37759242) × R
    4.45600000000268e-05 × 6371000     		dl = 283.891760000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37763698-0.37759242) × R
    4.45600000000268e-05 × 6371000     		dr = 283.891760000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59786901-0.59791695) × cos(0.37763698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929538534481356 × 6371000     		do = 283.904994752298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59786901-0.59791695) × cos(0.37759242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92955496394374 × 6371000     		du = 283.910012733004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37763698)-sin(0.37759242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929538534481356-0.92955496394374)×R²
    abs(0.59791695-0.59786901)×1.64294623836714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64294623836714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64294623836714e-05×40589641000000     		ar = 80599.0009280444m²