Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78007 / 57463
↖ ↑ ↗
← N 21.639558°
E 34.252625°		 ← 283.84 m → N 21.639558°
E 34.255371°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.637005°
E 34.252625°		 ← 283.85 m →
80 581 m²		 N 21.637005°
E 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595149993896484 y=0.438411712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595149993896484 × 217)
    floor (0.595149993896484 × 131072)
    floor (78007.5)     		tx = 78007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438411712646484 × 217)
    floor (0.438411712646484 × 131072)
    floor (57463.5)     		ty = 57463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78007 / 57463 ti = "17/78007/57463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78007/57463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78007 ÷ 217
    78007 ÷ 131072     		x = 0.595146179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57463 ÷ 217
    57463 ÷ 131072     		y = 0.438407897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595146179199219 × 2 - 1) × π
    0.190292358398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.59782108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438407897949219 × 2 - 1) × π
    0.123184204101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.386994590632713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59782108} λ = 0.59782108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386994590632713))-π/2
    2×atan(1.47254852569577)-π/2
    2×0.974238933395588-π/2
    1.94847786679118-1.57079632675     		φ = 0.37768154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59782108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.252625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37768154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.639558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78007 KachelY 57463 0.59782108 0.37768154 34.252625 21.639558
    Oben rechts KachelX + 1 78008 KachelY 57463 0.59786901 0.37768154 34.255371 21.639558
    Unten links KachelX 78007 KachelY + 1 57464 0.59782108 0.37763698 34.252625 21.637005
    Unten rechts KachelX + 1 78008 KachelY + 1 57464 0.59786901 0.37763698 34.255371 21.637005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37768154-0.37763698) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dl = 283.891759999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37768154-0.37763698) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dr = 283.891759999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59782108-0.59786901) × cos(0.37768154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929522103173287 × 6371000     		do = 283.840756355038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59782108-0.59786901) × cos(0.37763698) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929538534481356 × 6371000     		du = 283.845773852626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37768154)-sin(0.37763698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929522103173287-0.929538534481356)×R²
    abs(0.59786901-0.59782108)×1.64313080693868e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64313080693868e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64313080693868e-05×40589641000000     		ar = 80580.7641078157m²