Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78006 / 57211
↖ ↑ ↗
← N 22.281472°
E 34.249878°		 ← 282.62 m → N 22.281472°
E 34.252625°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 22.278930°
E 34.249878°		 ← 282.63 m →
79 874 m²		 N 22.278930°
E 34.252625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595142364501953 y=0.436489105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595142364501953 × 217)
    floor (0.595142364501953 × 131072)
    floor (78006.5)     		tx = 78006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436489105224609 × 217)
    floor (0.436489105224609 × 131072)
    floor (57211.5)     		ty = 57211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78006 / 57211 ti = "17/78006/57211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78006/57211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78006 ÷ 217
    78006 ÷ 131072     		x = 0.595138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57211 ÷ 217
    57211 ÷ 131072     		y = 0.436485290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595138549804688 × 2 - 1) × π
    0.190277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59777314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436485290527344 × 2 - 1) × π
    0.127029418945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.399074689336967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59777314} λ = 0.59777314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399074689336967))-π/2
    2×atan(1.49044493479425)-π/2
    2×0.979840688759125-π/2
    1.95968137751825-1.57079632675     		φ = 0.38888505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59777314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.249878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38888505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.281472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78006 KachelY 57211 0.59777314 0.38888505 34.249878 22.281472
    Oben rechts KachelX + 1 78007 KachelY 57211 0.59782108 0.38888505 34.252625 22.281472
    Unten links KachelX 78006 KachelY + 1 57212 0.59777314 0.38884069 34.249878 22.278930
    Unten rechts KachelX + 1 78007 KachelY + 1 57212 0.59782108 0.38884069 34.252625 22.278930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38888505-0.38884069) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dl = 282.617560000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38888505-0.38884069) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dr = 282.617560000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59777314-0.59782108) × cos(0.38888505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92533237595952 × 6371000     		do = 282.620325673209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59777314-0.59782108) × cos(0.38884069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925349194451451 × 6371000     		du = 282.625462473553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38888505)-sin(0.38884069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92533237595952-0.925349194451451)×R²
    abs(0.59782108-0.59777314)×1.68184919316916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68184919316916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68184919316916e-05×40589641000000     		ar = 79874.1927362216m²