Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78003 / 58990
↖ ↑ ↗
← N 17.691128°
E 34.241638°		 ← 290.92 m → N 17.691128°
E 34.244385°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 17.688512°
E 34.241638°		 ← 290.93 m →
84 648 m²		 N 17.688512°
E 34.244385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595119476318359 y=0.450061798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595119476318359 × 217)
    floor (0.595119476318359 × 131072)
    floor (78003.5)     		tx = 78003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450061798095703 × 217)
    floor (0.450061798095703 × 131072)
    floor (58990.5)     		ty = 58990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78003 / 58990 ti = "17/78003/58990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78003/58990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78003 ÷ 217
    78003 ÷ 131072     		x = 0.595115661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58990 ÷ 217
    58990 ÷ 131072     		y = 0.450057983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595115661621094 × 2 - 1) × π
    0.190231323242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.59762933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450057983398438 × 2 - 1) × π
    0.099884033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313794944912888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59762933} λ = 0.59762933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313794944912888))-π/2
    2×atan(1.36860906752049)-π/2
    2×0.939782385125145-π/2
    1.87956477025029-1.57079632675     		φ = 0.30876844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59762933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.241638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30876844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.691128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78003 KachelY 58990 0.59762933 0.30876844 34.241638 17.691128
    Oben rechts KachelX + 1 78004 KachelY 58990 0.59767726 0.30876844 34.244385 17.691128
    Unten links KachelX 78003 KachelY + 1 58991 0.59762933 0.30872277 34.241638 17.688512
    Unten rechts KachelX + 1 78004 KachelY + 1 58991 0.59767726 0.30872277 34.244385 17.688512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30876844-0.30872277) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dl = 290.963569999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30876844-0.30872277) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dr = 290.963569999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59762933-0.59767726) × cos(0.30876844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.952708545583905 × 6371000     		do = 290.921015478027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59762933-0.59767726) × cos(0.30872277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.952722423043389 × 6371000     		du = 290.925253127226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30876844)-sin(0.30872277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952708545583905-0.952722423043389)×R²
    abs(0.59767726-0.59762933)×1.38774594836688e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38774594836688e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38774594836688e-05×40589641000000     		ar = 84648.0337669154m²