Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78002 / 57102
↖ ↑ ↗
← N 22.558220°
E 34.238892°		 ← 282.06 m → N 22.558220°
E 34.241638°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.555684°
E 34.238892°		 ← 282.06 m →
79 553 m²		 N 22.555684°
E 34.241638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595111846923828 y=0.435657501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595111846923828 × 217)
    floor (0.595111846923828 × 131072)
    floor (78002.5)     		tx = 78002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435657501220703 × 217)
    floor (0.435657501220703 × 131072)
    floor (57102.5)     		ty = 57102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78002 / 57102 ti = "17/78002/57102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78002/57102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78002 ÷ 217
    78002 ÷ 131072     		x = 0.595108032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57102 ÷ 217
    57102 ÷ 131072     		y = 0.435653686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595108032226562 × 2 - 1) × π
    0.190216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59758139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435653686523438 × 2 - 1) × π
    0.128692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.404299811395554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59758139} λ = 0.59758139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404299811395554))-π/2
    2×atan(1.49825307297293)-π/2
    2×0.982255773555993-π/2
    1.96451154711199-1.57079632675     		φ = 0.39371522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59758139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.238892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39371522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.558220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78002 KachelY 57102 0.59758139 0.39371522 34.238892 22.558220
    Oben rechts KachelX + 1 78003 KachelY 57102 0.59762933 0.39371522 34.241638 22.558220
    Unten links KachelX 78002 KachelY + 1 57103 0.59758139 0.39367095 34.238892 22.555684
    Unten rechts KachelX + 1 78003 KachelY + 1 57103 0.59762933 0.39367095 34.241638 22.555684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39371522-0.39367095) × R
    4.42699999999574e-05 × 6371000     		dl = 282.044169999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39371522-0.39367095) × R
    4.42699999999574e-05 × 6371000     		dr = 282.044169999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59758139-0.59762933) × cos(0.39371522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923490196315434 × 6371000     		do = 282.057676592202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59758139-0.59762933) × cos(0.39367095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923507178357489 × 6371000     		du = 282.062863344963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39371522)-sin(0.39367095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923490196315434-0.923507178357489)×R²
    abs(0.59762933-0.59758139)×1.69820420543587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69820420543587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69820420543587e-05×40589641000000     		ar = 79553.454746135m²