Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78000 / 57103
↖ ↑ ↗
← N 22.555684°
E 34.233399°		 ← 282 m → N 22.555684°
E 34.236145°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.553147°
E 34.233399°		 ← 282.01 m →
79 538 m²		 N 22.553147°
E 34.236145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595096588134766 y=0.435665130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595096588134766 × 217)
    floor (0.595096588134766 × 131072)
    floor (78000.5)     		tx = 78000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435665130615234 × 217)
    floor (0.435665130615234 × 131072)
    floor (57103.5)     		ty = 57103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78000 / 57103 ti = "17/78000/57103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78000/57103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78000 ÷ 217
    78000 ÷ 131072     		x = 0.5950927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57103 ÷ 217
    57103 ÷ 131072     		y = 0.435661315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5950927734375 × 2 - 1) × π
    0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435661315917969 × 2 - 1) × π
    0.128677368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.404251874495934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59748552} λ = 0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404251874495934))-π/2
    2×atan(1.49818125308719)-π/2
    2×0.982233638724058-π/2
    1.96446727744812-1.57079632675     		φ = 0.39367095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39367095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.555684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78000 KachelY 57103 0.59748552 0.39367095 34.233399 22.555684
    Oben rechts KachelX + 1 78001 KachelY 57103 0.59753345 0.39367095 34.236145 22.555684
    Unten links KachelX 78000 KachelY + 1 57104 0.59748552 0.39362668 34.233399 22.553147
    Unten rechts KachelX + 1 78001 KachelY + 1 57104 0.59753345 0.39362668 34.236145 22.553147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39367095-0.39362668) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39367095-0.39362668) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59748552-0.59753345) × cos(0.39367095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923507178357489 × 6371000     		do = 282.004026702987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59748552-0.59753345) × cos(0.39362668) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923524158589623 × 6371000     		du = 282.009211821142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39367095)-sin(0.39362668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923507178357489-0.923524158589623)×R²
    abs(0.59753345-0.59748552)×1.69802321345891e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69802321345891e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69802321345891e-05×40589641000000     		ar = 79538.3228772446m²