Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 780 / 757
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E 94.218750°		 ← 16.568 km → S 64.923542°
E 94.570313°		 →
↑
16.522 km
↓
↑
16.522 km
↓
S 65.072130°
E 94.218750°		 ← 16.476 km →
272.986 km²		 S 65.072130°
E 94.570313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76220703125 y=0.73974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76220703125 × 210)
    floor (0.76220703125 × 1024)
    floor (780.5)     		tx = 780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73974609375 × 210)
    floor (0.73974609375 × 1024)
    floor (757.5)     		ty = 757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 780 / 757 ti = "10/780/757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/780/757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 780 ÷ 210
    780 ÷ 1024     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 757 ÷ 210
    757 ÷ 1024     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 780 KachelY 757 1.64442740 -1.13312957 94.218750 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 781 KachelY 757 1.65056333 -1.13312957 94.570313 -64.923542
    Unten links KachelX 780 KachelY + 1 758 1.64442740 -1.13572292 94.218750 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 781 KachelY + 1 758 1.65056333 -1.13572292 94.570313 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13572292) × R
    0.00259335000000016 × 6371000     		dl = 16522.232850001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13572292) × R
    0.00259335000000016 × 6371000     		dr = 16522.232850001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.65056333) × cos(-1.13312957) × R
    0.0061359299999999 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 16568.2611368272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.65056333) × cos(-1.13572292) × R
    0.0061359299999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 16476.3819642349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.421476970654384)×R²
    abs(1.65056333-1.64442740)×0.00235033124471723×R²
    0.0061359299999999×0.00235033124471723×6371000²
    0.0061359299999999×0.00235033124471723×40589641000000     		ar = 272985796.87683m²