Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 780 / 756
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 94.218750°		 ← 16.661 km → S 64.774125°
E 94.570313°		 →
↑
16.614 km
↓
↑
16.614 km
↓
S 64.923542°
E 94.218750°		 ← 16.568 km →
276.038 km²		 S 64.923542°
E 94.570313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76220703125 y=0.73876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76220703125 × 210)
    floor (0.76220703125 × 1024)
    floor (780.5)     		tx = 780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73876953125 × 210)
    floor (0.73876953125 × 1024)
    floor (756.5)     		ty = 756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 780 / 756 ti = "10/780/756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/780/756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 780 ÷ 210
    780 ÷ 1024     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 756 ÷ 210
    756 ÷ 1024     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 780 KachelY 756 1.64442740 -1.13052176 94.218750 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 781 KachelY 756 1.65056333 -1.13052176 94.570313 -64.774125
    Unten links KachelX 780 KachelY + 1 757 1.64442740 -1.13312957 94.218750 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 781 KachelY + 1 757 1.65056333 -1.13312957 94.570313 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13312957) × R
    0.00260780999999999 × 6371000     		dl = 16614.3575099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13312957) × R
    0.00260780999999999 × 6371000     		dr = 16614.3575099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.65056333) × cos(-1.13052176) × R
    0.0061359299999999 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 16660.5402452427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.65056333) × cos(-1.13312957) × R
    0.0061359299999999 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 16568.2611368272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.423827301899101)×R²
    abs(1.65056333-1.64442740)×0.00236056187299177×R²
    0.0061359299999999×0.00236056187299177×6371000²
    0.0061359299999999×0.00236056187299177×40589641000000     		ar = 276037749.332129m²