Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77999 / 84648
↖ ↑ ↗
← S 46.392411°
E 34.230652°		 ← 210.66 m → S 46.392411°
E 34.233399°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.394306°
E 34.230652°		 ← 210.65 m →
44 382 m²		 S 46.394306°
E 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595088958740234 y=0.645816802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595088958740234 × 217)
    floor (0.595088958740234 × 131072)
    floor (77999.5)     		tx = 77999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645816802978516 × 217)
    floor (0.645816802978516 × 131072)
    floor (84648.5)     		ty = 84648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77999 / 84648 ti = "17/77999/84648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77999/84648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77999 ÷ 217
    77999 ÷ 131072     		x = 0.595085144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84648 ÷ 217
    84648 ÷ 131072     		y = 0.64581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595085144042969 × 2 - 1) × π
    0.190170288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59743758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.916170025538513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59743758} λ = 0.59743758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916170025538513))-π/2
    2×atan(0.400048285448378)-π/2
    2×0.380548001805816-π/2
    0.761096003611632-1.57079632675     		φ = -0.80970032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59743758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.230652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80970032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.392411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77999 KachelY 84648 0.59743758 -0.80970032 34.230652 -46.392411
    Oben rechts KachelX + 1 78000 KachelY 84648 0.59748552 -0.80970032 34.233399 -46.392411
    Unten links KachelX 77999 KachelY + 1 84649 0.59743758 -0.80973339 34.230652 -46.394306
    Unten rechts KachelX + 1 78000 KachelY + 1 84649 0.59748552 -0.80973339 34.233399 -46.394306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80970032--0.80973339) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80970032--0.80973339) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59743758-0.59748552) × cos(-0.80970032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689715456367641 × 6371000     		do = 210.656853650386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59743758-0.59748552) × cos(-0.80973339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689691510647936 × 6371000     		du = 210.649540011226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80970032)-sin(-0.80973339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689715456367641-0.689691510647936)×R²
    abs(0.59748552-0.59743758)×2.39457197042103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39457197042103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39457197042103e-05×40589641000000     		ar = 44382.3050715027m²