Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77992 / 84712
↖ ↑ ↗
← S 46.513515°
E 34.211426°		 ← 210.19 m → S 46.513515°
E 34.214172°		 →
↑
210.18 m
↓
↑
210.18 m
↓
S 46.515406°
E 34.211426°		 ← 210.18 m →
44 177 m²		 S 46.515406°
E 34.214172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595035552978516 y=0.646305084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595035552978516 × 217)
    floor (0.595035552978516 × 131072)
    floor (77992.5)     		tx = 77992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646305084228516 × 217)
    floor (0.646305084228516 × 131072)
    floor (84712.5)     		ty = 84712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77992 / 84712 ti = "17/77992/84712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77992/84712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77992 ÷ 217
    77992 ÷ 131072     		x = 0.59503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84712 ÷ 217
    84712 ÷ 131072     		y = 0.64630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59503173828125 × 2 - 1) × π
    0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919237987114197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59710202} λ = 0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919237987114197))-π/2
    2×atan(0.398822833461211)-π/2
    2×0.379491166626936-π/2
    0.758982333253872-1.57079632675     		φ = -0.81181399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81181399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.513515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77992 KachelY 84712 0.59710202 -0.81181399 34.211426 -46.513515
    Oben rechts KachelX + 1 77993 KachelY 84712 0.59714996 -0.81181399 34.214172 -46.513515
    Unten links KachelX 77992 KachelY + 1 84713 0.59710202 -0.81184698 34.211426 -46.515406
    Unten rechts KachelX + 1 77993 KachelY + 1 84713 0.59714996 -0.81184698 34.214172 -46.515406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81181399--0.81184698) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dl = 210.179290000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81181399--0.81184698) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dr = 210.179290000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59710202-0.59714996) × cos(-0.81181399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688183449563287 × 6371000     		do = 210.188939338482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59710202-0.59714996) × cos(-0.81184698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688159513732235 × 6371000     		du = 210.18162871957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81181399)-sin(-0.81184698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688183449563287-0.688159513732235)×R²
    abs(0.59714996-0.59710202)×2.39358310518689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39358310518689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39358310518689e-05×40589641000000     		ar = 44176.5937694971m²