Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77990 / 84642
↖ ↑ ↗
← S 46.381044°
E 34.205933°		 ← 210.66 m → S 46.381044°
E 34.208679°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 46.382938°
E 34.205933°		 ← 210.65 m →
44 369 m²		 S 46.382938°
E 34.208679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595020294189453 y=0.645771026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595020294189453 × 217)
    floor (0.595020294189453 × 131072)
    floor (77990.5)     		tx = 77990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645771026611328 × 217)
    floor (0.645771026611328 × 131072)
    floor (84642.5)     		ty = 84642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77990 / 84642 ti = "17/77990/84642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77990/84642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77990 ÷ 217
    77990 ÷ 131072     		x = 0.595016479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84642 ÷ 217
    84642 ÷ 131072     		y = 0.645767211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595016479492188 × 2 - 1) × π
    0.190032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59700615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645767211914062 × 2 - 1) × π
    -0.291534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.915882404140793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59700615} λ = 0.59700615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915882404140793))-π/2
    2×atan(0.400163364444192)-π/2
    2×0.380647200595892-π/2
    0.761294401191784-1.57079632675     		φ = -0.80950193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59700615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.205933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80950193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.381044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77990 KachelY 84642 0.59700615 -0.80950193 34.205933 -46.381044
    Oben rechts KachelX + 1 77991 KachelY 84642 0.59705408 -0.80950193 34.208679 -46.381044
    Unten links KachelX 77990 KachelY + 1 84643 0.59700615 -0.80953499 34.205933 -46.382938
    Unten rechts KachelX + 1 77991 KachelY + 1 84643 0.59705408 -0.80953499 34.208679 -46.382938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80950193--0.80953499) × R
    3.30599999999182e-05 × 6371000     		dl = 210.625259999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80950193--0.80953499) × R
    3.30599999999182e-05 × 6371000     		dr = 210.625259999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59700615-0.59705408) × cos(-0.80950193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68985909312655 × 6371000     		do = 210.656773091211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59700615-0.59705408) × cos(-0.80953499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.689835159171959 × 6371000     		du = 210.649464570251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80950193)-sin(-0.80953499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68985909312655-0.689835159171959)×R²
    abs(0.59705408-0.59700615)×2.39339545911044e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39339545911044e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39339545911044e-05×40589641000000     		ar = 44368.8679274332m²