Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7799 / 9512
↖ ↑ ↗
← S 27.839076°
W  8.635254°		 ← 2 160.44 m → S 27.839076°
W  8.613281°		 →
↑
2 160.28 m
↓
↑
2 160.28 m
↓
S 27.858504°
W  8.635254°		 ← 2 160.06 m →
4 666 742 m²		 S 27.858504°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476043701171875 y=0.580596923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476043701171875 × 214)
    floor (0.476043701171875 × 16384)
    floor (7799.5)     		tx = 7799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580596923828125 × 214)
    floor (0.580596923828125 × 16384)
    floor (9512.5)     		ty = 9512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7799 / 9512 ti = "14/7799/9512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7799/9512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7799 ÷ 214
    7799 ÷ 16384     		x = 0.47601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9512 ÷ 214
    9512 ÷ 16384     		y = 0.58056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.0479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15071361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15071361} λ = -0.15071361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506213659987793))-π/2
    2×atan(0.602773569150951)-π/2
    2×0.542456394120286-π/2
    1.08491278824057-1.57079632675     		φ = -0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15071361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7799 KachelY 9512 -0.15071361 -0.48588354 -8.635254 -27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 7800 KachelY 9512 -0.15033012 -0.48588354 -8.613281 -27.839076
    Unten links KachelX 7799 KachelY + 1 9513 -0.15071361 -0.48622262 -8.635254 -27.858504
    Unten rechts KachelX + 1 7800 KachelY + 1 9513 -0.15033012 -0.48622262 -8.613281 -27.858504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48588354--0.48622262) × R
    0.000339079999999992 × 6371000     		dl = 2160.27867999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48588354--0.48622262) × R
    0.000339079999999992 × 6371000     		dr = 2160.27867999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15071361--0.15033012) × cos(-0.48588354) × R
    0.000383489999999986 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 2160.44368274779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15071361--0.15033012) × cos(-0.48622262) × R
    0.000383489999999986 × 0.884104292380278 × 6371000     		du = 2160.0566830459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48588354)-sin(-0.48622262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884104292380278)×R²
    abs(-0.15033012--0.15071361)×0.000158397740335658×R²
    0.000383489999999986×0.000158397740335658×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158397740335658×40589641000000     		ar = 4666742.45829188m²