Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7799 / 3177
↖ ↑ ↗
← N 73.371928°
W  8.635254°		 ← 699.15 m → N 73.371928°
W  8.613281°		 →
↑
699.28 m
↓
↑
699.28 m
↓
N 73.365640°
W  8.635254°		 ← 699.40 m →
488 989 m²		 N 73.365640°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476043701171875 y=0.193939208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476043701171875 × 214)
    floor (0.476043701171875 × 16384)
    floor (7799.5)     		tx = 7799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193939208984375 × 214)
    floor (0.193939208984375 × 16384)
    floor (3177.5)     		ty = 3177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7799 / 3177 ti = "14/7799/3177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7799/3177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7799 ÷ 214
    7799 ÷ 16384     		x = 0.47601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3177 ÷ 214
    3177 ÷ 16384     		y = 0.19390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.0479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15071361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19390869140625 × 2 - 1) × π
    0.6121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92322841275665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15071361} λ = -0.15071361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92322841275665))-π/2
    2×atan(6.84301492313687)-π/2
    2×1.42568902695576-π/2
    2.85137805391153-1.57079632675     		φ = 1.28058173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15071361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28058173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.371928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7799 KachelY 3177 -0.15071361 1.28058173 -8.635254 73.371928
    Oben rechts KachelX + 1 7800 KachelY 3177 -0.15033012 1.28058173 -8.613281 73.371928
    Unten links KachelX 7799 KachelY + 1 3178 -0.15071361 1.28047197 -8.635254 73.365640
    Unten rechts KachelX + 1 7800 KachelY + 1 3178 -0.15033012 1.28047197 -8.613281 73.365640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28058173-1.28047197) × R
    0.000109759999999959 × 6371000     		dl = 699.280959999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28058173-1.28047197) × R
    0.000109759999999959 × 6371000     		dr = 699.280959999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15071361--0.15033012) × cos(1.28058173) × R
    0.000383489999999986 × 0.286157854583367 × 6371000     		do = 699.145102592725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15071361--0.15033012) × cos(1.28047197) × R
    0.000383489999999986 × 0.286263022969441 × 6371000     		du = 699.402051549023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28058173)-sin(1.28047197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286157854583367-0.286263022969441)×R²
    abs(-0.15033012--0.15071361)×0.000105168386074661×R²
    0.000383489999999986×0.000105168386074661×6371000²
    0.000383489999999986×0.000105168386074661×40589641000000     		ar = 488988.69876781m²