Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77988 / 84643
↖ ↑ ↗
← S 46.382938°
E 34.200439°		 ← 210.69 m → S 46.382938°
E 34.203186°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.384833°
E 34.200439°		 ← 210.69 m →
44 390 m²		 S 46.384833°
E 34.203186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595005035400391 y=0.645778656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595005035400391 × 217)
    floor (0.595005035400391 × 131072)
    floor (77988.5)     		tx = 77988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645778656005859 × 217)
    floor (0.645778656005859 × 131072)
    floor (84643.5)     		ty = 84643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77988 / 84643 ti = "17/77988/84643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77988/84643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77988 ÷ 217
    77988 ÷ 131072     		x = 0.595001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84643 ÷ 217
    84643 ÷ 131072     		y = 0.645774841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595001220703125 × 2 - 1) × π
    0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645774841308594 × 2 - 1) × π
    -0.291549682617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.915930341040413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59691027} λ = 0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915930341040413))-π/2
    2×atan(0.400144182312928)-π/2
    2×0.380630666029676-π/2
    0.761261332059351-1.57079632675     		φ = -0.80953499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80953499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.382938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77988 KachelY 84643 0.59691027 -0.80953499 34.200439 -46.382938
    Oben rechts KachelX + 1 77989 KachelY 84643 0.59695821 -0.80953499 34.203186 -46.382938
    Unten links KachelX 77988 KachelY + 1 84644 0.59691027 -0.80956806 34.200439 -46.384833
    Unten rechts KachelX + 1 77989 KachelY + 1 84644 0.59695821 -0.80956806 34.203186 -46.384833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80953499--0.80956806) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dl = 210.688970000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80953499--0.80956806) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dr = 210.688970000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59691027-0.59695821) × cos(-0.80953499) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.689835159171959 × 6371000     		do = 210.693413968463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59691027-0.59695821) × cos(-0.80956806) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.68981121722351 × 6371000     		du = 210.686101481141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80953499)-sin(-0.80956806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689835159171959-0.68981121722351)×R²
    abs(0.59695821-0.59691027)×2.39419484486803e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39419484486803e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39419484486803e-05×40589641000000     		ar = 44390.008048799m²