Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77986 / 84658
↖ ↑ ↗
← S 46.411351°
E 34.194946°		 ← 210.58 m → S 46.411351°
E 34.197693°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 46.413245°
E 34.194946°		 ← 210.58 m →
44 340 m²		 S 46.413245°
E 34.197693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594989776611328 y=0.645893096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594989776611328 × 217)
    floor (0.594989776611328 × 131072)
    floor (77986.5)     		tx = 77986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645893096923828 × 217)
    floor (0.645893096923828 × 131072)
    floor (84658.5)     		ty = 84658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77986 / 84658 ti = "17/77986/84658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77986/84658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77986 ÷ 217
    77986 ÷ 131072     		x = 0.594985961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84658 ÷ 217
    84658 ÷ 131072     		y = 0.645889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594985961914062 × 2 - 1) × π
    0.189971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59681440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645889282226562 × 2 - 1) × π
    -0.291778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.916649394534714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59681440} λ = 0.59681440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916649394534714))-π/2
    2×atan(0.399856560660482)-π/2
    2×0.380382716393475-π/2
    0.760765432786951-1.57079632675     		φ = -0.81003089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59681440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.194946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81003089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.411351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77986 KachelY 84658 0.59681440 -0.81003089 34.194946 -46.411351
    Oben rechts KachelX + 1 77987 KachelY 84658 0.59686234 -0.81003089 34.197693 -46.411351
    Unten links KachelX 77986 KachelY + 1 84659 0.59681440 -0.81006394 34.194946 -46.413245
    Unten rechts KachelX + 1 77987 KachelY + 1 84659 0.59686234 -0.81006394 34.197693 -46.413245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81003089--0.81006394) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dl = 210.561550000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81003089--0.81006394) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dr = 210.561550000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59681440-0.59686234) × cos(-0.81003089) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.689476059391977 × 6371000     		do = 210.583735652428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59681440-0.59686234) × cos(-0.81006394) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.689452120620403 × 6371000     		du = 210.576424135405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81003089)-sin(-0.81006394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689476059391977-0.689452120620403)×R²
    abs(0.59686234-0.59681440)×2.39387715743611e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39387715743611e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39387715743611e-05×40589641000000     		ar = 44340.0680258774m²