Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77984 / 57079
↖ ↑ ↗
← N 22.616546°
E 34.189453°		 ← 281.88 m → N 22.616546°
E 34.192200°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.614011°
E 34.189453°		 ← 281.88 m →
79 467 m²		 N 22.614011°
E 34.192200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594974517822266 y=0.435482025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594974517822266 × 217)
    floor (0.594974517822266 × 131072)
    floor (77984.5)     		tx = 77984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435482025146484 × 217)
    floor (0.435482025146484 × 131072)
    floor (57079.5)     		ty = 57079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77984 / 57079 ti = "17/77984/57079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77984/57079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77984 ÷ 217
    77984 ÷ 131072     		x = 0.594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57079 ÷ 217
    57079 ÷ 131072     		y = 0.435478210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594970703125 × 2 - 1) × π
    0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435478210449219 × 2 - 1) × π
    0.129043579101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.405402360086815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59671853} λ = 0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405402360086815))-π/2
    2×atan(1.4999058809209)-π/2
    2×0.982764762272638-π/2
    1.96552952454528-1.57079632675     		φ = 0.39473320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39473320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.616546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77984 KachelY 57079 0.59671853 0.39473320 34.189453 22.616546
    Oben rechts KachelX + 1 77985 KachelY 57079 0.59676646 0.39473320 34.192200 22.616546
    Unten links KachelX 77984 KachelY + 1 57080 0.59671853 0.39468895 34.189453 22.614011
    Unten rechts KachelX + 1 77985 KachelY + 1 57080 0.59676646 0.39468895 34.192200 22.614011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39473320-0.39468895) × R
    4.42500000000234e-05 × 6371000     		dl = 281.916750000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39473320-0.39468895) × R
    4.42500000000234e-05 × 6371000     		dr = 281.916750000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59671853-0.59676646) × cos(0.39473320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923099198336192 × 6371000     		do = 281.879445095485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59671853-0.59676646) × cos(0.39468895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923116214297387 × 6371000     		du = 281.884641123938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39473320)-sin(0.39468895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923099198336192-0.923116214297387)×R²
    abs(0.59676646-0.59671853)×1.70159611951881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70159611951881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70159611951881e-05×40589641000000     		ar = 79467.2694898275m²