Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77983 / 57508
↖ ↑ ↗
← N 21.524627°
E 34.186707°		 ← 284.13 m → N 21.524627°
E 34.189453°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.522072°
E 34.186707°		 ← 284.13 m →
80 734 m²		 N 21.522072°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594966888427734 y=0.438755035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594966888427734 × 217)
    floor (0.594966888427734 × 131072)
    floor (77983.5)     		tx = 77983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438755035400391 × 217)
    floor (0.438755035400391 × 131072)
    floor (57508.5)     		ty = 57508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77983 / 57508 ti = "17/77983/57508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77983/57508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77983 ÷ 217
    77983 ÷ 131072     		x = 0.594963073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57508 ÷ 217
    57508 ÷ 131072     		y = 0.438751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594963073730469 × 2 - 1) × π
    0.189926147460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59667059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    0.12249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.384837430149811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59667059} λ = 0.59667059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384837430149811))-π/2
    2×atan(1.46937542588021)-π/2
    2×0.973235971023788-π/2
    1.94647194204758-1.57079632675     		φ = 0.37567562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59667059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.186707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37567562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.524627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77983 KachelY 57508 0.59667059 0.37567562 34.186707 21.524627
    Oben rechts KachelX + 1 77984 KachelY 57508 0.59671853 0.37567562 34.189453 21.524627
    Unten links KachelX 77983 KachelY + 1 57509 0.59667059 0.37563102 34.186707 21.522072
    Unten rechts KachelX + 1 77984 KachelY + 1 57509 0.59671853 0.37563102 34.189453 21.522072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37567562-0.37563102) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37567562-0.37563102) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59667059-0.59671853) × cos(0.37567562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		do = 284.12533316712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59667059-0.59671853) × cos(0.37563102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930276311378689 × 6371000     		du = 284.13033080712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37567562)-sin(0.37563102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930259948514183-0.930276311378689)×R²
    abs(0.59671853-0.59667059)×1.63628645057923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63628645057923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63628645057923e-05×40589641000000     		ar = 80733.9574379871m²