Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77981 / 84693
↖ ↑ ↗
← S 46.477591°
E 34.181214°		 ← 210.28 m → S 46.477591°
E 34.183960°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 46.479482°
E 34.181214°		 ← 210.28 m →
44 223 m²		 S 46.479482°
E 34.183960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594951629638672 y=0.646160125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594951629638672 × 217)
    floor (0.594951629638672 × 131072)
    floor (77981.5)     		tx = 77981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646160125732422 × 217)
    floor (0.646160125732422 × 131072)
    floor (84693.5)     		ty = 84693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77981 / 84693 ti = "17/77981/84693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77981/84693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77981 ÷ 217
    77981 ÷ 131072     		x = 0.594947814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84693 ÷ 217
    84693 ÷ 131072     		y = 0.646156311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594947814941406 × 2 - 1) × π
    0.189895629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.59657472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646156311035156 × 2 - 1) × π
    -0.292312622070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.918327186021416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59657472} λ = 0.59657472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918327186021416))-π/2
    2×atan(0.39918624720745)-π/2
    2×0.379804669297136-π/2
    0.759609338594271-1.57079632675     		φ = -0.81118699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59657472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.181214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81118699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.477591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77981 KachelY 84693 0.59657472 -0.81118699 34.181214 -46.477591
    Oben rechts KachelX + 1 77982 KachelY 84693 0.59662265 -0.81118699 34.183960 -46.477591
    Unten links KachelX 77981 KachelY + 1 84694 0.59657472 -0.81122000 34.181214 -46.479482
    Unten rechts KachelX + 1 77982 KachelY + 1 84694 0.59662265 -0.81122000 34.183960 -46.479482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81118699--0.81122000) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dl = 210.30671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81118699--0.81122000) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dr = 210.30671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59657472-0.59662265) × cos(-0.81118699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688638225787807 × 6371000     		do = 210.283966562292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59657472-0.59662265) × cos(-0.81122000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		du = 210.276657387957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81118699)-sin(-0.81122000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688638225787807-0.688614289693544)×R²
    abs(0.59662265-0.59657472)×2.39360942628775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39360942628775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39360942628775e-05×40589641000000     		ar = 44223.360593104m²