Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77981 / 84639
↖ ↑ ↗
← S 46.375359°
E 34.181214°		 ← 210.68 m → S 46.375359°
E 34.183960°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.377254°
E 34.181214°		 ← 210.67 m →
44 387 m²		 S 46.377254°
E 34.183960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594951629638672 y=0.645748138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594951629638672 × 217)
    floor (0.594951629638672 × 131072)
    floor (77981.5)     		tx = 77981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645748138427734 × 217)
    floor (0.645748138427734 × 131072)
    floor (84639.5)     		ty = 84639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77981 / 84639 ti = "17/77981/84639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77981/84639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77981 ÷ 217
    77981 ÷ 131072     		x = 0.594947814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84639 ÷ 217
    84639 ÷ 131072     		y = 0.645744323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594947814941406 × 2 - 1) × π
    0.189895629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.59657472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645744323730469 × 2 - 1) × π
    -0.291488647460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.915738593441933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59657472} λ = 0.59657472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915738593441933))-π/2
    2×atan(0.400220916355482)-π/2
    2×0.380696807737464-π/2
    0.761393615474929-1.57079632675     		φ = -0.80940271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59657472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.181214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80940271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.375359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77981 KachelY 84639 0.59657472 -0.80940271 34.181214 -46.375359
    Oben rechts KachelX + 1 77982 KachelY 84639 0.59662265 -0.80940271 34.183960 -46.375359
    Unten links KachelX 77981 KachelY + 1 84640 0.59657472 -0.80943578 34.181214 -46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 77982 KachelY + 1 84640 0.59662265 -0.80943578 34.183960 -46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80940271--0.80943578) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dl = 210.688970000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80940271--0.80943578) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dr = 210.688970000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59657472-0.59662265) × cos(-0.80940271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.689930919421282 × 6371000     		do = 210.678706114378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59657472-0.59662265) × cos(-0.80943578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 210.671396073932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80940271)-sin(-0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689930919421282-0.689906980490674)×R²
    abs(0.59662265-0.59657472)×2.39389306079252e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39389306079252e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39389306079252e-05×40589641000000     		ar = 44386.9095239341m²