Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7798 / 10794
↖ ↑ ↗
← N 76.129796°
W137.164307°		 ← 146.44 m → N 76.129796°
W137.158813°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
N 76.128479°
W137.164307°		 ← 146.45 m →
21 440 m²		 N 76.128479°
W137.158813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118995666503906 y=0.164710998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118995666503906 × 216)
    floor (0.118995666503906 × 65536)
    floor (7798.5)     		tx = 7798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164710998535156 × 216)
    floor (0.164710998535156 × 65536)
    floor (10794.5)     		ty = 10794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7798 / 10794 ti = "16/7798/10794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7798/10794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7798 ÷ 216
    7798 ÷ 65536     		x = 0.118988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10794 ÷ 216
    10794 ÷ 65536     		y = 0.164703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.76202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39396877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164703369140625 × 2 - 1) × π
    0.67059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10673086450223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39396877} λ = -2.39396877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10673086450223))-π/2
    2×atan(8.2213206937541)-π/2
    2×1.44975596469727-π/2
    2.89951192939453-1.57079632675     		φ = 1.32871560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39396877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.164307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32871560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.129796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7798 KachelY 10794 -2.39396877 1.32871560 -137.164307 76.129796
    Oben rechts KachelX + 1 7799 KachelY 10794 -2.39387289 1.32871560 -137.158813 76.129796
    Unten links KachelX 7798 KachelY + 1 10795 -2.39396877 1.32869262 -137.164307 76.128479
    Unten rechts KachelX + 1 7799 KachelY + 1 10795 -2.39387289 1.32869262 -137.158813 76.128479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32871560-1.32869262) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dl = 146.405580000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32871560-1.32869262) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dr = 146.405580000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39396877--2.39387289) × cos(1.32871560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23972319936241 × 6371000     		do = 146.435271120767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39396877--2.39387289) × cos(1.32869262) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239745509231687 × 6371000     		du = 146.448899137434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32871560)-sin(1.32869262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23972319936241-0.239745509231687)×R²
    abs(-2.39387289--2.39396877)×2.23098692772594e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.23098692772594e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.23098692772594e-05×40589641000000     		ar = 21439.9384108859m²