Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77978 / 84641
↖ ↑ ↗
← S 46.379149°
E 34.172974°		 ← 210.66 m → S 46.379149°
E 34.175720°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.381044°
E 34.172974°		 ← 210.66 m →
44 384 m²		 S 46.381044°
E 34.175720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594928741455078 y=0.645763397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594928741455078 × 217)
    floor (0.594928741455078 × 131072)
    floor (77978.5)     		tx = 77978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645763397216797 × 217)
    floor (0.645763397216797 × 131072)
    floor (84641.5)     		ty = 84641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77978 / 84641 ti = "17/77978/84641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77978/84641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77978 ÷ 217
    77978 ÷ 131072     		x = 0.594924926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84641 ÷ 217
    84641 ÷ 131072     		y = 0.645759582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594924926757812 × 2 - 1) × π
    0.189849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59643091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645759582519531 × 2 - 1) × π
    -0.291519165039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.915834467241173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59643091} λ = 0.59643091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915834467241173))-π/2
    2×atan(0.400182547495009)-π/2
    2×0.380663735735928-π/2
    0.761327471471856-1.57079632675     		φ = -0.80946886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59643091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.172974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80946886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.379149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77978 KachelY 84641 0.59643091 -0.80946886 34.172974 -46.379149
    Oben rechts KachelX + 1 77979 KachelY 84641 0.59647884 -0.80946886 34.175720 -46.379149
    Unten links KachelX 77978 KachelY + 1 84642 0.59643091 -0.80950193 34.172974 -46.381044
    Unten rechts KachelX + 1 77979 KachelY + 1 84642 0.59647884 -0.80950193 34.175720 -46.381044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80946886--0.80950193) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dl = 210.688970000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80946886--0.80950193) × R
    3.30700000000794e-05 × 6371000     		dr = 210.688970000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59643091-0.59647884) × cos(-0.80946886) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.689883033566359 × 6371000     		do = 210.664083592022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59643091-0.59647884) × cos(-0.80950193) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.68985909312655 × 6371000     		du = 210.656773090723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80946886)-sin(-0.80950193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689883033566359-0.68985909312655)×R²
    abs(0.59647884-0.59643091)×2.39404398088006e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39404398088006e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39404398088006e-05×40589641000000     		ar = 44383.8286712995m²