Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77978 / 59042
↖ ↑ ↗
← N 17.555009°
E 34.172974°		 ← 291.14 m → N 17.555009°
E 34.175720°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.552391°
E 34.172974°		 ← 291.14 m →
84 768 m²		 N 17.552391°
E 34.175720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594928741455078 y=0.450458526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594928741455078 × 217)
    floor (0.594928741455078 × 131072)
    floor (77978.5)     		tx = 77978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450458526611328 × 217)
    floor (0.450458526611328 × 131072)
    floor (59042.5)     		ty = 59042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77978 / 59042 ti = "17/77978/59042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77978/59042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77978 ÷ 217
    77978 ÷ 131072     		x = 0.594924926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59042 ÷ 217
    59042 ÷ 131072     		y = 0.450454711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594924926757812 × 2 - 1) × π
    0.189849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59643091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450454711914062 × 2 - 1) × π
    0.099090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.311302226132645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59643091} λ = 0.59643091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311302226132645))-π/2
    2×atan(1.36520175849099)-π/2
    2×0.938594519153226-π/2
    1.87718903830645-1.57079632675     		φ = 0.30639271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59643091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.172974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30639271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.555009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77978 KachelY 59042 0.59643091 0.30639271 34.172974 17.555009
    Oben rechts KachelX + 1 77979 KachelY 59042 0.59647884 0.30639271 34.175720 17.555009
    Unten links KachelX 77978 KachelY + 1 59043 0.59643091 0.30634701 34.172974 17.552391
    Unten rechts KachelX + 1 77979 KachelY + 1 59043 0.59647884 0.30634701 34.175720 17.552391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30639271-0.30634701) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dl = 291.154700000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30639271-0.30634701) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dr = 291.154700000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59643091-0.59647884) × cos(0.30639271) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953427806334634 × 6371000     		do = 291.140650400294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59643091-0.59647884) × cos(0.30634701) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953441589433146 × 6371000     		du = 291.144859235236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30639271)-sin(0.30634701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953427806334634-0.953441589433146)×R²
    abs(0.59647884-0.59643091)×1.37830985122989e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.37830985122989e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.37830985122989e-05×40589641000000     		ar = 84767.5814509923m²