Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77976 / 84766
↖ ↑ ↗
← S 46.615488°
E 34.167480°		 ← 209.79 m → S 46.615488°
E 34.170227°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.617374°
E 34.167480°		 ← 209.79 m →
44 000 m²		 S 46.617374°
E 34.170227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594913482666016 y=0.646717071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594913482666016 × 217)
    floor (0.594913482666016 × 131072)
    floor (77976.5)     		tx = 77976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646717071533203 × 217)
    floor (0.646717071533203 × 131072)
    floor (84766.5)     		ty = 84766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77976 / 84766 ti = "17/77976/84766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77976/84766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77976 ÷ 217
    77976 ÷ 131072     		x = 0.59490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84766 ÷ 217
    84766 ÷ 131072     		y = 0.646713256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59490966796875 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646713256835938 × 2 - 1) × π
    -0.293426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.92182657969368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59633503} λ = 0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92182657969368))-π/2
    2×atan(0.397791778700079)-π/2
    2×0.378601289724206-π/2
    0.757202579448411-1.57079632675     		φ = -0.81359375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81359375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.615488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77976 KachelY 84766 0.59633503 -0.81359375 34.167480 -46.615488
    Oben rechts KachelX + 1 77977 KachelY 84766 0.59638297 -0.81359375 34.170227 -46.615488
    Unten links KachelX 77976 KachelY + 1 84767 0.59633503 -0.81362667 34.167480 -46.617374
    Unten rechts KachelX + 1 77977 KachelY + 1 84767 0.59638297 -0.81362667 34.170227 -46.617374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81359375--0.81362667) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81359375--0.81362667) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(-0.81359375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686891079076819 × 6371000     		do = 209.794216126299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(-0.81362667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686867153753014 × 6371000     		du = 209.786908716571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81359375)-sin(-0.81362667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686891079076819-0.686867153753014)×R²
    abs(0.59638297-0.59633503)×2.39253238054626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39253238054626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39253238054626e-05×40589641000000     		ar = 44000.0711651474m²