Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77976 / 84764
↖ ↑ ↗
← S 46.611715°
E 34.167480°		 ← 209.81 m → S 46.611715°
E 34.170227°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 46.613601°
E 34.167480°		 ← 209.80 m →
44 017 m²		 S 46.613601°
E 34.170227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594913482666016 y=0.646701812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594913482666016 × 217)
    floor (0.594913482666016 × 131072)
    floor (77976.5)     		tx = 77976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646701812744141 × 217)
    floor (0.646701812744141 × 131072)
    floor (84764.5)     		ty = 84764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77976 / 84764 ti = "17/77976/84764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77976/84764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77976 ÷ 217
    77976 ÷ 131072     		x = 0.59490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84764 ÷ 217
    84764 ÷ 131072     		y = 0.646697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59490966796875 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.29339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.92173070589444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59633503} λ = 0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92173070589444))-π/2
    2×atan(0.397829918337476)-π/2
    2×0.378634218300155-π/2
    0.757268436600311-1.57079632675     		φ = -0.81352789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81352789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.611715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77976 KachelY 84764 0.59633503 -0.81352789 34.167480 -46.611715
    Oben rechts KachelX + 1 77977 KachelY 84764 0.59638297 -0.81352789 34.170227 -46.611715
    Unten links KachelX 77976 KachelY + 1 84765 0.59633503 -0.81356082 34.167480 -46.613601
    Unten rechts KachelX + 1 77977 KachelY + 1 84765 0.59638297 -0.81356082 34.170227 -46.613601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81352789--0.81356082) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dl = 209.797029999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81352789--0.81356082) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dr = 209.797029999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(-0.81352789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686938942025501 × 6371000     		do = 209.808834702818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(-0.81356082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686915010923601 × 6371000     		du = 209.801525528311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81352789)-sin(-0.81356082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686938942025501-0.686915010923601)×R²
    abs(0.59638297-0.59633503)×2.39311019006871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39311019006871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39311019006871e-05×40589641000000     		ar = 44016.5036707402m²