Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77976 / 57931
↖ ↑ ↗
← N 20.439881°
E 34.167480°		 ← 286.20 m → N 20.439881°
E 34.170227°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.437308°
E 34.167480°		 ← 286.20 m →
81 906 m²		 N 20.437308°
E 34.170227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594913482666016 y=0.441982269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594913482666016 × 217)
    floor (0.594913482666016 × 131072)
    floor (77976.5)     		tx = 77976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441982269287109 × 217)
    floor (0.441982269287109 × 131072)
    floor (57931.5)     		ty = 57931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77976 / 57931 ti = "17/77976/57931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77976/57931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77976 ÷ 217
    77976 ÷ 131072     		x = 0.59490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57931 ÷ 217
    57931 ÷ 131072     		y = 0.441978454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59490966796875 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441978454589844 × 2 - 1) × π
    0.116043090820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.364560121610527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59633503} λ = 0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364560121610527))-π/2
    2×atan(1.43988049651155)-π/2
    2×0.963769779946714-π/2
    1.92753955989343-1.57079632675     		φ = 0.35674323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35674323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.439881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77976 KachelY 57931 0.59633503 0.35674323 34.167480 20.439881
    Oben rechts KachelX + 1 77977 KachelY 57931 0.59638297 0.35674323 34.170227 20.439881
    Unten links KachelX 77976 KachelY + 1 57932 0.59633503 0.35669831 34.167480 20.437308
    Unten rechts KachelX + 1 77977 KachelY + 1 57932 0.59638297 0.35669831 34.170227 20.437308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35674323-0.35669831) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35674323-0.35669831) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(0.35674323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937039134490302 × 6371000     		do = 286.195871060472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59633503-0.59638297) × cos(0.35669831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937054820703604 × 6371000     		du = 286.200662033778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35674323)-sin(0.35669831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937039134490302-0.937054820703604)×R²
    abs(0.59638297-0.59633503)×1.56862133025015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56862133025015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56862133025015e-05×40589641000000     		ar = 81905.7425089472m²