Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77975 / 84765
↖ ↑ ↗
← S 46.613601°
E 34.164734°		 ← 209.80 m → S 46.613601°
E 34.167480°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 46.615488°
E 34.164734°		 ← 209.79 m →
44 015 m²		 S 46.615488°
E 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594905853271484 y=0.646709442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594905853271484 × 217)
    floor (0.594905853271484 × 131072)
    floor (77975.5)     		tx = 77975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646709442138672 × 217)
    floor (0.646709442138672 × 131072)
    floor (84765.5)     		ty = 84765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77975 / 84765 ti = "17/77975/84765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77975/84765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77975 ÷ 217
    77975 ÷ 131072     		x = 0.594902038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84765 ÷ 217
    84765 ÷ 131072     		y = 0.646705627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594902038574219 × 2 - 1) × π
    0.189804077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.59628709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646705627441406 × 2 - 1) × π
    -0.293411254882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.92177864279406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59628709} λ = 0.59628709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92177864279406))-π/2
    2×atan(0.397810848061704)-π/2
    2×0.378617753725393-π/2
    0.757235507450785-1.57079632675     		φ = -0.81356082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59628709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.164734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81356082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.613601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77975 KachelY 84765 0.59628709 -0.81356082 34.164734 -46.613601
    Oben rechts KachelX + 1 77976 KachelY 84765 0.59633503 -0.81356082 34.167480 -46.613601
    Unten links KachelX 77975 KachelY + 1 84766 0.59628709 -0.81359375 34.164734 -46.615488
    Unten rechts KachelX + 1 77976 KachelY + 1 84766 0.59633503 -0.81359375 34.167480 -46.615488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81356082--0.81359375) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81356082--0.81359375) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59628709-0.59633503) × cos(-0.81356082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686915010923601 × 6371000     		do = 209.801525528311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59628709-0.59633503) × cos(-0.81359375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686891079076819 × 6371000     		du = 209.794216126299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81356082)-sin(-0.81359375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686915010923601-0.686891079076819)×R²
    abs(0.59633503-0.59628709)×2.39318467810667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39318467810667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39318467810667e-05×40589641000000     		ar = 44014.9702038842m²