Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77975 / 84696
↖ ↑ ↗
← S 46.483265°
E 34.164734°		 ← 210.31 m → S 46.483265°
E 34.167480°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 46.485156°
E 34.164734°		 ← 210.30 m →
44 215 m²		 S 46.485156°
E 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594905853271484 y=0.646183013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594905853271484 × 217)
    floor (0.594905853271484 × 131072)
    floor (77975.5)     		tx = 77975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646183013916016 × 217)
    floor (0.646183013916016 × 131072)
    floor (84696.5)     		ty = 84696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77975 / 84696 ti = "17/77975/84696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77975/84696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77975 ÷ 217
    77975 ÷ 131072     		x = 0.594902038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84696 ÷ 217
    84696 ÷ 131072     		y = 0.64617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594902038574219 × 2 - 1) × π
    0.189804077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.59628709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.2923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.918470996720276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59628709} λ = 0.59628709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918470996720276))-π/2
    2×atan(0.399128844081954)-π/2
    2×0.379755155106529-π/2
    0.759510310213057-1.57079632675     		φ = -0.81128602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59628709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.164734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81128602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.483265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77975 KachelY 84696 0.59628709 -0.81128602 34.164734 -46.483265
    Oben rechts KachelX + 1 77976 KachelY 84696 0.59633503 -0.81128602 34.167480 -46.483265
    Unten links KachelX 77975 KachelY + 1 84697 0.59628709 -0.81131902 34.164734 -46.485156
    Unten rechts KachelX + 1 77976 KachelY + 1 84697 0.59633503 -0.81131902 34.167480 -46.485156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81128602--0.81131902) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dl = 210.24299999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81128602--0.81131902) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dr = 210.24299999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59628709-0.59633503) × cos(-0.81128602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688566415253978 × 6371000     		do = 210.305906917956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59628709-0.59633503) × cos(-0.81131902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688542484160687 × 6371000     		du = 210.298597746078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81128602)-sin(-0.81131902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688566415253978-0.688542484160687)×R²
    abs(0.59633503-0.59628709)×2.39310932910186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39310932910186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39310932910186e-05×40589641000000     		ar = 44214.5764410732m²