Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77973 / 84774
↖ ↑ ↗
← S 46.630579°
E 34.159241°		 ← 209.74 m → S 46.630579°
E 34.161987°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.632465°
E 34.159241°		 ← 209.73 m →
43 988 m²		 S 46.632465°
E 34.161987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594890594482422 y=0.646778106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594890594482422 × 217)
    floor (0.594890594482422 × 131072)
    floor (77973.5)     		tx = 77973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646778106689453 × 217)
    floor (0.646778106689453 × 131072)
    floor (84774.5)     		ty = 84774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77973 / 84774 ti = "17/77973/84774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77973/84774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77973 ÷ 217
    77973 ÷ 131072     		x = 0.594886779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84774 ÷ 217
    84774 ÷ 131072     		y = 0.646774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594886779785156 × 2 - 1) × π
    0.189773559570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59619122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646774291992188 × 2 - 1) × π
    -0.293548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.92221007489064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59619122} λ = 0.59619122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92221007489064))-π/2
    2×atan(0.397639256711151)-π/2
    2×0.378469598363172-π/2
    0.756939196726344-1.57079632675     		φ = -0.81385713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59619122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.159241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81385713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.630579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77973 KachelY 84774 0.59619122 -0.81385713 34.159241 -46.630579
    Oben rechts KachelX + 1 77974 KachelY 84774 0.59623916 -0.81385713 34.161987 -46.630579
    Unten links KachelX 77973 KachelY + 1 84775 0.59619122 -0.81389005 34.159241 -46.632465
    Unten rechts KachelX + 1 77974 KachelY + 1 84775 0.59623916 -0.81389005 34.161987 -46.632465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81385713--0.81389005) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81385713--0.81389005) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59619122-0.59623916) × cos(-0.81385713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686699641106473 × 6371000     		do = 209.735746042541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59619122-0.59623916) × cos(-0.81389005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686675709827933 × 6371000     		du = 209.728436814084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81385713)-sin(-0.81389005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686699641106473-0.686675709827933)×R²
    abs(0.59623916-0.59619122)×2.39312785400569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39312785400569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39312785400569e-05×40589641000000     		ar = 43987.8078499368m²