Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77972 / 59056
↖ ↑ ↗
← N 17.518344°
E 34.156494°		 ← 291.26 m → N 17.518344°
E 34.159241°		 →
↑
291.28 m
↓
↑
291.28 m
↓
N 17.515725°
E 34.156494°		 ← 291.26 m →
84 840 m²		 N 17.515725°
E 34.159241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594882965087891 y=0.450565338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594882965087891 × 217)
    floor (0.594882965087891 × 131072)
    floor (77972.5)     		tx = 77972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450565338134766 × 217)
    floor (0.450565338134766 × 131072)
    floor (59056.5)     		ty = 59056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77972 / 59056 ti = "17/77972/59056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77972/59056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77972 ÷ 217
    77972 ÷ 131072     		x = 0.594879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59056 ÷ 217
    59056 ÷ 131072     		y = 0.4505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594879150390625 × 2 - 1) × π
    0.18975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59614328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    0.098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59614328} λ = 0.59614328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310631109537964))-π/2
    2×atan(1.36428585630874)-π/2
    2×0.938274556181032-π/2
    1.87654911236206-1.57079632675     		φ = 0.30575279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59614328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.156494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30575279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.518344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77972 KachelY 59056 0.59614328 0.30575279 34.156494 17.518344
    Oben rechts KachelX + 1 77973 KachelY 59056 0.59619122 0.30575279 34.159241 17.518344
    Unten links KachelX 77972 KachelY + 1 59057 0.59614328 0.30570707 34.156494 17.515725
    Unten rechts KachelX + 1 77973 KachelY + 1 59057 0.59619122 0.30570707 34.159241 17.515725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30575279-0.30570707) × R
    4.57199999999713e-05 × 6371000     		dl = 291.282119999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30575279-0.30570707) × R
    4.57199999999713e-05 × 6371000     		dr = 291.282119999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59614328-0.59619122) × cos(0.30575279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953620624620632 × 6371000     		do = 291.260284953828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59614328-0.59619122) × cos(0.30570707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953634385853103 × 6371000     		du = 291.264487988439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30575279)-sin(0.30570707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953620624620632-0.953634385853103)×R²
    abs(0.59619122-0.59614328)×1.37612324706549e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37612324706549e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37612324706549e-05×40589641000000     		ar = 84839.5254222895m²