Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77970 / 84757
↖ ↑ ↗
← S 46.598506°
E 34.151001°		 ← 209.86 m → S 46.598506°
E 34.153748°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 46.600393°
E 34.151001°		 ← 209.85 m →
44 041 m²		 S 46.600393°
E 34.153748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594867706298828 y=0.646648406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594867706298828 × 217)
    floor (0.594867706298828 × 131072)
    floor (77970.5)     		tx = 77970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646648406982422 × 217)
    floor (0.646648406982422 × 131072)
    floor (84757.5)     		ty = 84757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77970 / 84757 ti = "17/77970/84757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77970/84757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77970 ÷ 217
    77970 ÷ 131072     		x = 0.594863891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84757 ÷ 217
    84757 ÷ 131072     		y = 0.646644592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594863891601562 × 2 - 1) × π
    0.189727783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59604741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646644592285156 × 2 - 1) × π
    -0.293289184570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.921395147597099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59604741} λ = 0.59604741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921395147597099))-π/2
    2×atan(0.397963435867709)-π/2
    2×0.378749486383787-π/2
    0.757498972767574-1.57079632675     		φ = -0.81329735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59604741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.151001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81329735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.598506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77970 KachelY 84757 0.59604741 -0.81329735 34.151001 -46.598506
    Oben rechts KachelX + 1 77971 KachelY 84757 0.59609535 -0.81329735 34.153748 -46.598506
    Unten links KachelX 77970 KachelY + 1 84758 0.59604741 -0.81333029 34.151001 -46.600393
    Unten rechts KachelX + 1 77971 KachelY + 1 84758 0.59609535 -0.81333029 34.153748 -46.600393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81329735--0.81333029) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81329735--0.81333029) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59604741-0.59609535) × cos(-0.81329735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687106460676682 × 6371000     		do = 209.859999210819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59604741-0.59609535) × cos(-0.81333029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687082527524555 × 6371000     		du = 209.85268941012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81329735)-sin(-0.81333029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687106460676682-0.687082527524555)×R²
    abs(0.59609535-0.59604741)×2.39331521273423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39331521273423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39331521273423e-05×40589641000000     		ar = 44040.6077146478m²