Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7797 / 9513
↖ ↑ ↗
← S 27.858504°
W  8.679199°		 ← 2 160.06 m → S 27.858504°
W  8.657227°		 →
↑
2 159.90 m
↓
↑
2 159.90 m
↓
S 27.877928°
W  8.679199°		 ← 2 159.67 m →
4 665 081 m²		 S 27.877928°
W  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475921630859375 y=0.580657958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475921630859375 × 214)
    floor (0.475921630859375 × 16384)
    floor (7797.5)     		tx = 7797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580657958984375 × 214)
    floor (0.580657958984375 × 16384)
    floor (9513.5)     		ty = 9513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7797 / 9513 ti = "14/7797/9513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7797/9513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7797 ÷ 214
    7797 ÷ 16384     		x = 0.47589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9513 ÷ 214
    9513 ÷ 16384     		y = 0.58062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15148060} λ = -0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506597155184753))-π/2
    2×atan(0.602542452701183)-π/2
    2×0.542286854057928-π/2
    1.08457370811586-1.57079632675     		φ = -0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7797 KachelY 9513 -0.15148060 -0.48622262 -8.679199 -27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 7798 KachelY 9513 -0.15109711 -0.48622262 -8.657227 -27.858504
    Unten links KachelX 7797 KachelY + 1 9514 -0.15148060 -0.48656164 -8.679199 -27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 7798 KachelY + 1 9514 -0.15109711 -0.48656164 -8.657227 -27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48622262--0.48656164) × R
    0.000339020000000023 × 6371000     		dl = 2159.89642000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48622262--0.48656164) × R
    0.000339020000000023 × 6371000     		dr = 2159.89642000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15148060--0.15109711) × cos(-0.48622262) × R
    0.000383489999999986 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 2160.0566830459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15148060--0.15109711) × cos(-0.48656164) × R
    0.000383489999999986 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 2159.66950353624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48622262)-sin(-0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.15109711--0.15148060)×0.000158471335081845×R²
    0.000383489999999986×0.000158471335081845×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158471335081845×40589641000000     		ar = 4665080.60757139m²