Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7797 / 10713
↖ ↑ ↗
← N 76.236059°
W137.169800°		 ← 145.32 m → N 76.236059°
W137.164307°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
N 76.234752°
W137.169800°		 ← 145.33 m →
21 119 m²		 N 76.234752°
W137.164307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118980407714844 y=0.163475036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118980407714844 × 216)
    floor (0.118980407714844 × 65536)
    floor (7797.5)     		tx = 7797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163475036621094 × 216)
    floor (0.163475036621094 × 65536)
    floor (10713.5)     		ty = 10713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7797 / 10713 ti = "16/7797/10713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7797/10713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7797 ÷ 216
    7797 ÷ 65536     		x = 0.118972778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10713 ÷ 216
    10713 ÷ 65536     		y = 0.163467407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118972778320312 × 2 - 1) × π
    -0.762054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39406464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163467407226562 × 2 - 1) × π
    0.673065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11449664224068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39406464} λ = -2.39406464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11449664224068))-π/2
    2×atan(8.28541418878826)-π/2
    2×1.45068328262138-π/2
    2.90136656524276-1.57079632675     		φ = 1.33057024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39406464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.169800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33057024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.236059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7797 KachelY 10713 -2.39406464 1.33057024 -137.169800 76.236059
    Oben rechts KachelX + 1 7798 KachelY 10713 -2.39396877 1.33057024 -137.164307 76.236059
    Unten links KachelX 7797 KachelY + 1 10714 -2.39406464 1.33054743 -137.169800 76.234752
    Unten rechts KachelX + 1 7798 KachelY + 1 10714 -2.39396877 1.33054743 -137.164307 76.234752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33057024-1.33054743) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33057024-1.33054743) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39406464--2.39396877) × cos(1.33057024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237922227039646 × 6371000     		do = 145.319986486976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39406464--2.39396877) × cos(1.33054743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237944381970547 × 6371000     		du = 145.333518447816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33057024)-sin(1.33054743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237922227039646-0.237944381970547)×R²
    abs(-2.39396877--2.39406464)×2.21549309012137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21549309012137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21549309012137e-05×40589641000000     		ar = 21119.248439314m²