Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77967 / 84635
↖ ↑ ↗
← S 46.367779°
E 34.142761°		 ← 210.75 m → S 46.367779°
E 34.145508°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 46.369674°
E 34.142761°		 ← 210.74 m →
44 416 m²		 S 46.369674°
E 34.145508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594844818115234 y=0.645717620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594844818115234 × 217)
    floor (0.594844818115234 × 131072)
    floor (77967.5)     		tx = 77967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645717620849609 × 217)
    floor (0.645717620849609 × 131072)
    floor (84635.5)     		ty = 84635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77967 / 84635 ti = "17/77967/84635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77967/84635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77967 ÷ 217
    77967 ÷ 131072     		x = 0.594841003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84635 ÷ 217
    84635 ÷ 131072     		y = 0.645713806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594841003417969 × 2 - 1) × π
    0.189682006835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59590360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645713806152344 × 2 - 1) × π
    -0.291427612304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.915546845843452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59590360} λ = 0.59590360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915546845843452))-π/2
    2×atan(0.400297665113014)-π/2
    2×0.380762958626448-π/2
    0.761525917252895-1.57079632675     		φ = -0.80927041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59590360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.142761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80927041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.367779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77967 KachelY 84635 0.59590360 -0.80927041 34.142761 -46.367779
    Oben rechts KachelX + 1 77968 KachelY 84635 0.59595154 -0.80927041 34.145508 -46.367779
    Unten links KachelX 77967 KachelY + 1 84636 0.59590360 -0.80930349 34.142761 -46.369674
    Unten rechts KachelX + 1 77968 KachelY + 1 84636 0.59595154 -0.80930349 34.145508 -46.369674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80927041--0.80930349) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80927041--0.80930349) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59590360-0.59595154) × cos(-0.80927041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690026682073874 × 6371000     		do = 210.75190999202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59590360-0.59595154) × cos(-0.80930349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690002738923915 × 6371000     		du = 210.744597137725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80927041)-sin(-0.80930349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690026682073874-0.690002738923915)×R²
    abs(0.59595154-0.59590360)×2.394314995946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.394314995946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.394314995946e-05×40589641000000     		ar = 44415.7592481411m²