Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77963 / 84723
↖ ↑ ↗
← S 46.534303°
E 34.131775°		 ← 210.11 m → S 46.534303°
E 34.134522°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.536192°
E 34.131775°		 ← 210.10 m →
44 133 m²		 S 46.536192°
E 34.134522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594814300537109 y=0.646389007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594814300537109 × 217)
    floor (0.594814300537109 × 131072)
    floor (77963.5)     		tx = 77963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646389007568359 × 217)
    floor (0.646389007568359 × 131072)
    floor (84723.5)     		ty = 84723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77963 / 84723 ti = "17/77963/84723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77963/84723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77963 ÷ 217
    77963 ÷ 131072     		x = 0.594810485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84723 ÷ 217
    84723 ÷ 131072     		y = 0.646385192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594810485839844 × 2 - 1) × π
    0.189620971679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59571185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646385192871094 × 2 - 1) × π
    -0.292770385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.919765293010017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59571185} λ = 0.59571185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919765293010017))-π/2
    2×atan(0.39861258726664)-π/2
    2×0.379309759739931-π/2
    0.758619519479863-1.57079632675     		φ = -0.81217681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59571185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.131775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81217681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.534303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77963 KachelY 84723 0.59571185 -0.81217681 34.131775 -46.534303
    Oben rechts KachelX + 1 77964 KachelY 84723 0.59575979 -0.81217681 34.134522 -46.534303
    Unten links KachelX 77963 KachelY + 1 84724 0.59571185 -0.81220978 34.131775 -46.536192
    Unten rechts KachelX + 1 77964 KachelY + 1 84724 0.59575979 -0.81220978 34.134522 -46.536192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81217681--0.81220978) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81217681--0.81220978) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59571185-0.59575979) × cos(-0.81217681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687920165038725 × 6371000     		do = 210.108525467737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59571185-0.59575979) × cos(-0.81220978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687896235488408 × 6371000     		du = 210.101216767124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81217681)-sin(-0.81220978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687920165038725-0.687896235488408)×R²
    abs(0.59575979-0.59571185)×2.39295503168258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39295503168258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39295503168258e-05×40589641000000     		ar = 44132.9210782794m²