Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7796 / 9403
↖ ↑ ↗
← S 25.700938°
W  8.701172°		 ← 2 201.56 m → S 25.700938°
W  8.679199°		 →
↑
2 201.31 m
↓
↑
2 201.31 m
↓
S 25.720735°
W  8.701172°		 ← 2 201.20 m →
4 845 919 m²		 S 25.720735°
W  8.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475860595703125 y=0.573944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475860595703125 × 214)
    floor (0.475860595703125 × 16384)
    floor (7796.5)     		tx = 7796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573944091796875 × 214)
    floor (0.573944091796875 × 16384)
    floor (9403.5)     		ty = 9403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7796 / 9403 ti = "14/7796/9403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7796/9403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7796 ÷ 214
    7796 ÷ 16384     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9403 ÷ 214
    9403 ÷ 16384     		y = 0.57391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.464412683519104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464412683519104))-π/2
    2×atan(0.628504127645025)-π/2
    2×0.561115169962559-π/2
    1.12223033992512-1.57079632675     		φ = -0.44856599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44856599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.700938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7796 KachelY 9403 -0.15186410 -0.44856599 -8.701172 -25.700938
    Oben rechts KachelX + 1 7797 KachelY 9403 -0.15148060 -0.44856599 -8.679199 -25.700938
    Unten links KachelX 7796 KachelY + 1 9404 -0.15186410 -0.44891151 -8.701172 -25.720735
    Unten rechts KachelX + 1 7797 KachelY + 1 9404 -0.15148060 -0.44891151 -8.679199 -25.720735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44856599--0.44891151) × R
    0.000345519999999988 × 6371000     		dl = 2201.30791999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44856599--0.44891151) × R
    0.000345519999999988 × 6371000     		dr = 2201.30791999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15148060) × cos(-0.44856599) × R
    0.000383500000000009 × 0.901069921231817 × 6371000     		do = 2201.56476554244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15148060) × cos(-0.44891151) × R
    0.000383500000000009 × 0.90092002446388 × 6371000     		du = 2201.19852599212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44856599)-sin(-0.44891151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901069921231817-0.90092002446388)×R²
    abs(-0.15148060--0.15186410)×0.000149896767936641×R²
    0.000383500000000009×0.000149896767936641×6371000²
    0.000383500000000009×0.000149896767936641×40589641000000     		ar = 4845918.89998084m²