Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7796 / 4956
↖ ↑ ↗
← N 57.751076°
W  8.701172°		 ← 1 303.73 m → N 57.751076°
W  8.679199°		 →
↑
1 303.89 m
↓
↑
1 303.89 m
↓
N 57.739350°
W  8.701172°		 ← 1 304.15 m →
1 700 195 m²		 N 57.739350°
W  8.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475860595703125 y=0.302520751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475860595703125 × 214)
    floor (0.475860595703125 × 16384)
    floor (7796.5)     		tx = 7796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302520751953125 × 214)
    floor (0.302520751953125 × 16384)
    floor (4956.5)     		ty = 4956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7796 / 4956 ti = "14/7796/4956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7796/4956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7796 ÷ 214
    7796 ÷ 16384     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4956 ÷ 214
    4956 ÷ 16384     		y = 0.302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302490234375 × 2 - 1) × π
    0.39501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24099045736401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24099045736401))-π/2
    2×atan(3.45903779811419)-π/2
    2×1.28937137460972-π/2
    2.57874274921944-1.57079632675     		φ = 1.00794642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00794642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.751076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7796 KachelY 4956 -0.15186410 1.00794642 -8.701172 57.751076
    Oben rechts KachelX + 1 7797 KachelY 4956 -0.15148060 1.00794642 -8.679199 57.751076
    Unten links KachelX 7796 KachelY + 1 4957 -0.15186410 1.00774176 -8.701172 57.739350
    Unten rechts KachelX + 1 7797 KachelY + 1 4957 -0.15148060 1.00774176 -8.679199 57.739350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00794642-1.00774176) × R
    0.000204659999999857 × 6371000     		dl = 1303.88885999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00794642-1.00774176) × R
    0.000204659999999857 × 6371000     		dr = 1303.88885999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15148060) × cos(1.00794642) × R
    0.000383500000000009 × 0.533598635612837 × 6371000     		do = 1303.73007402221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15148060) × cos(1.00774176) × R
    0.000383500000000009 × 0.533771713143133 × 6371000     		du = 1304.15295063081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00794642)-sin(1.00774176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533598635612837-0.533771713143133)×R²
    abs(-0.15148060--0.15186410)×0.000173077530295385×R²
    0.000383500000000009×0.000173077530295385×6371000²
    0.000383500000000009×0.000173077530295385×40589641000000     		ar = 1700194.81794577m²