Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77959 / 84726
↖ ↑ ↗
← S 46.539971°
E 34.120788°		 ← 210.09 m → S 46.539971°
E 34.123535°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 46.541861°
E 34.120788°		 ← 210.08 m →
44 142 m²		 S 46.541861°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594783782958984 y=0.646411895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594783782958984 × 217)
    floor (0.594783782958984 × 131072)
    floor (77959.5)     		tx = 77959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646411895751953 × 217)
    floor (0.646411895751953 × 131072)
    floor (84726.5)     		ty = 84726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77959 / 84726 ti = "17/77959/84726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77959/84726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77959 ÷ 217
    77959 ÷ 131072     		x = 0.594779968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84726 ÷ 217
    84726 ÷ 131072     		y = 0.646408081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594779968261719 × 2 - 1) × π
    0.189559936523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.59552010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646408081054688 × 2 - 1) × π
    -0.292816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919909103708878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59552010} λ = 0.59552010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919909103708878))-π/2
    2×atan(0.398555266633649)-π/2
    2×0.379260297181418-π/2
    0.758520594362836-1.57079632675     		φ = -0.81227573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59552010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.120788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81227573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.539971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77959 KachelY 84726 0.59552010 -0.81227573 34.120788 -46.539971
    Oben rechts KachelX + 1 77960 KachelY 84726 0.59556804 -0.81227573 34.123535 -46.539971
    Unten links KachelX 77959 KachelY + 1 84727 0.59552010 -0.81230871 34.120788 -46.541861
    Unten rechts KachelX + 1 77960 KachelY + 1 84727 0.59556804 -0.81230871 34.123535 -46.541861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81227573--0.81230871) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dl = 210.115580000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81227573--0.81230871) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dr = 210.115580000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59552010-0.59556804) × cos(-0.81227573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		do = 210.086596463805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59552010-0.59556804) × cos(-0.81230871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687824427833474 × 6371000     		du = 210.079284860978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81227573)-sin(-0.81230871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687848366885984-0.687824427833474)×R²
    abs(0.59556804-0.59552010)×2.39390525093031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39390525093031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39390525093031e-05×40589641000000     		ar = 44141.6989293155m²