Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77958 / 84636
↖ ↑ ↗
← S 46.369674°
E 34.118042°		 ← 210.70 m → S 46.369674°
E 34.120788°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.371569°
E 34.118042°		 ← 210.69 m →
44 392 m²		 S 46.371569°
E 34.120788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594776153564453 y=0.645725250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594776153564453 × 217)
    floor (0.594776153564453 × 131072)
    floor (77958.5)     		tx = 77958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645725250244141 × 217)
    floor (0.645725250244141 × 131072)
    floor (84636.5)     		ty = 84636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77958 / 84636 ti = "17/77958/84636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77958/84636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77958 ÷ 217
    77958 ÷ 131072     		x = 0.594772338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84636 ÷ 217
    84636 ÷ 131072     		y = 0.645721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594772338867188 × 2 - 1) × π
    0.189544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59547217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.29144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915594782743072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59547217} λ = 0.59547217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915594782743072))-π/2
    2×atan(0.400278476543948)-π/2
    2×0.380746420043458-π/2
    0.761492840086917-1.57079632675     		φ = -0.80930349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59547217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.118042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80930349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.369674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77958 KachelY 84636 0.59547217 -0.80930349 34.118042 -46.369674
    Oben rechts KachelX + 1 77959 KachelY 84636 0.59552010 -0.80930349 34.120788 -46.369674
    Unten links KachelX 77958 KachelY + 1 84637 0.59547217 -0.80933656 34.118042 -46.371569
    Unten rechts KachelX + 1 77959 KachelY + 1 84637 0.59552010 -0.80933656 34.120788 -46.371569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80930349--0.80933656) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80930349--0.80933656) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59547217-0.59552010) × cos(-0.80930349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690002738923915 × 6371000     		do = 210.700637063496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59547217-0.59552010) × cos(-0.80933656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.689978802257191 × 6371000     		du = 210.693327714353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80930349)-sin(-0.80933656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690002738923915-0.689978802257191)×R²
    abs(0.59552010-0.59547217)×2.3936666724178e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3936666724178e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3936666724178e-05×40589641000000     		ar = 44391.5302055204m²