Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77957 / 84751
↖ ↑ ↗
← S 46.587182°
E 34.115295°		 ← 209.90 m → S 46.587182°
E 34.118042°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 46.589069°
E 34.115295°		 ← 209.90 m →
44 050 m²		 S 46.589069°
E 34.118042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594768524169922 y=0.646602630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594768524169922 × 217)
    floor (0.594768524169922 × 131072)
    floor (77957.5)     		tx = 77957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646602630615234 × 217)
    floor (0.646602630615234 × 131072)
    floor (84751.5)     		ty = 84751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77957 / 84751 ti = "17/77957/84751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77957/84751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77957 ÷ 217
    77957 ÷ 131072     		x = 0.594764709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84751 ÷ 217
    84751 ÷ 131072     		y = 0.646598815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594764709472656 × 2 - 1) × π
    0.189529418945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59542423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646598815917969 × 2 - 1) × π
    -0.293197631835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.921107526199379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59542423} λ = 0.59542423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921107526199379))-π/2
    2×atan(0.398077915129929)-π/2
    2×0.378848309968409-π/2
    0.757696619936817-1.57079632675     		φ = -0.81309971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59542423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.115295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81309971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.587182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77957 KachelY 84751 0.59542423 -0.81309971 34.115295 -46.587182
    Oben rechts KachelX + 1 77958 KachelY 84751 0.59547217 -0.81309971 34.118042 -46.587182
    Unten links KachelX 77957 KachelY + 1 84752 0.59542423 -0.81313265 34.115295 -46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 77958 KachelY + 1 84752 0.59547217 -0.81313265 34.118042 -46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81309971--0.81313265) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81309971--0.81313265) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59542423-0.59547217) × cos(-0.81309971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687250043932188 × 6371000     		do = 209.903853232883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59542423-0.59547217) × cos(-0.81313265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 209.896544798547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81309971)-sin(-0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687250043932188-0.687226115253693)×R²
    abs(0.59547217-0.59542423)×2.39286784949888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39286784949888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39286784949888e-05×40589641000000     		ar = 44049.811095454m²