Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77957 / 84729
↖ ↑ ↗
← S 46.545639°
E 34.115295°		 ← 210.06 m → S 46.545639°
E 34.118042°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.547528°
E 34.115295°		 ← 210.06 m →
44 124 m²		 S 46.547528°
E 34.118042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594768524169922 y=0.646434783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594768524169922 × 217)
    floor (0.594768524169922 × 131072)
    floor (77957.5)     		tx = 77957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646434783935547 × 217)
    floor (0.646434783935547 × 131072)
    floor (84729.5)     		ty = 84729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77957 / 84729 ti = "17/77957/84729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77957/84729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77957 ÷ 217
    77957 ÷ 131072     		x = 0.594764709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84729 ÷ 217
    84729 ÷ 131072     		y = 0.646430969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594764709472656 × 2 - 1) × π
    0.189529418945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59542423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646430969238281 × 2 - 1) × π
    -0.292861938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.920052914407738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59542423} λ = 0.59542423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920052914407738))-π/2
    2×atan(0.398497954243387)-π/2
    2×0.379210839785815-π/2
    0.75842167957163-1.57079632675     		φ = -0.81237465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59542423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.115295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81237465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.545639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77957 KachelY 84729 0.59542423 -0.81237465 34.115295 -46.545639
    Oben rechts KachelX + 1 77958 KachelY 84729 0.59547217 -0.81237465 34.118042 -46.545639
    Unten links KachelX 77957 KachelY + 1 84730 0.59542423 -0.81240762 34.115295 -46.547528
    Unten rechts KachelX + 1 77958 KachelY + 1 84730 0.59547217 -0.81240762 34.118042 -46.547528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81237465--0.81240762) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81237465--0.81240762) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59542423-0.59547217) × cos(-0.81237465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687776562002532 × 6371000     		do = 210.064665404141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59542423-0.59547217) × cos(-0.81240762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687752627965606 × 6371000     		du = 210.057355333202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81237465)-sin(-0.81240762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687776562002532-0.687752627965606)×R²
    abs(0.59547217-0.59542423)×2.3934036925688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3934036925688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3934036925688e-05×40589641000000     		ar = 44123.708046124m²