Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77954 / 84722
↖ ↑ ↗
← S 46.532414°
E 34.107056°		 ← 210.12 m → S 46.532414°
E 34.109802°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 46.534303°
E 34.107056°		 ← 210.11 m →
44 148 m²		 S 46.534303°
E 34.109802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594745635986328 y=0.646381378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594745635986328 × 217)
    floor (0.594745635986328 × 131072)
    floor (77954.5)     		tx = 77954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646381378173828 × 217)
    floor (0.646381378173828 × 131072)
    floor (84722.5)     		ty = 84722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77954 / 84722 ti = "17/77954/84722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77954/84722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77954 ÷ 217
    77954 ÷ 131072     		x = 0.594741821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84722 ÷ 217
    84722 ÷ 131072     		y = 0.646377563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594741821289062 × 2 - 1) × π
    0.189483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59528042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646377563476562 × 2 - 1) × π
    -0.292755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.919717356110397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59528042} λ = 0.59528042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919717356110397))-π/2
    2×atan(0.398631695976225)-π/2
    2×0.379326248406759-π/2
    0.758652496813518-1.57079632675     		φ = -0.81214383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59528042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.107056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81214383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.532414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77954 KachelY 84722 0.59528042 -0.81214383 34.107056 -46.532414
    Oben rechts KachelX + 1 77955 KachelY 84722 0.59532836 -0.81214383 34.109802 -46.532414
    Unten links KachelX 77954 KachelY + 1 84723 0.59528042 -0.81217681 34.107056 -46.534303
    Unten rechts KachelX + 1 77955 KachelY + 1 84723 0.59532836 -0.81217681 34.109802 -46.534303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81214383--0.81217681) × R
    3.29799999999603e-05 × 6371000     		dl = 210.115579999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81214383--0.81217681) × R
    3.29799999999603e-05 × 6371000     		dr = 210.115579999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59528042-0.59532836) × cos(-0.81214383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687944101098895 × 6371000     		do = 210.115836156627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59528042-0.59532836) × cos(-0.81217681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687920165038725 × 6371000     		du = 210.108525467737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81214383)-sin(-0.81217681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687944101098895-0.687920165038725)×R²
    abs(0.59532836-0.59528042)×2.39360601699268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39360601699268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39360601699268e-05×40589641000000     		ar = 44147.8427403836m²