Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77950 / 84727
↖ ↑ ↗
← S 46.541861°
E 34.096069°		 ← 210.08 m → S 46.541861°
E 34.098816°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.543750°
E 34.096069°		 ← 210.07 m →
44 127 m²		 S 46.543750°
E 34.098816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594715118408203 y=0.646419525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594715118408203 × 217)
    floor (0.594715118408203 × 131072)
    floor (77950.5)     		tx = 77950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646419525146484 × 217)
    floor (0.646419525146484 × 131072)
    floor (84727.5)     		ty = 84727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77950 / 84727 ti = "17/77950/84727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77950/84727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77950 ÷ 217
    77950 ÷ 131072     		x = 0.594711303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84727 ÷ 217
    84727 ÷ 131072     		y = 0.646415710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594711303710938 × 2 - 1) × π
    0.189422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59508867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646415710449219 × 2 - 1) × π
    -0.292831420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.919957040608498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59508867} λ = 0.59508867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919957040608498))-π/2
    2×atan(0.398536161587762)-π/2
    2×0.37924381080923-π/2
    0.758487621618459-1.57079632675     		φ = -0.81230871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59508867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.096069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81230871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.541861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77950 KachelY 84727 0.59508867 -0.81230871 34.096069 -46.541861
    Oben rechts KachelX + 1 77951 KachelY 84727 0.59513661 -0.81230871 34.098816 -46.541861
    Unten links KachelX 77950 KachelY + 1 84728 0.59508867 -0.81234168 34.096069 -46.543750
    Unten rechts KachelX + 1 77951 KachelY + 1 84728 0.59513661 -0.81234168 34.098816 -46.543750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81230871--0.81234168) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dl = 210.051869999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81230871--0.81234168) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dr = 210.051869999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59508867-0.59513661) × cos(-0.81230871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687824427833474 × 6371000     		do = 210.079284860978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59508867-0.59513661) × cos(-0.81234168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68780049529183 × 6371000     		du = 210.071975246736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81230871)-sin(-0.81234168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687824427833474-0.68780049529183)×R²
    abs(0.59513661-0.59508867)×2.39325416445668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39325416445668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39325416445668e-05×40589641000000     		ar = 44126.7789382394m²