Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7795 / 3232
↖ ↑ ↗
← N 73.022592°
W  8.723144°		 ← 713.41 m → N 73.022592°
W  8.701172°		 →
↑
713.55 m
↓
↑
713.55 m
↓
N 73.016174°
W  8.723144°		 ← 713.67 m →
509 145 m²		 N 73.016174°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475799560546875 y=0.197296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475799560546875 × 214)
    floor (0.475799560546875 × 16384)
    floor (7795.5)     		tx = 7795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197296142578125 × 214)
    floor (0.197296142578125 × 16384)
    floor (3232.5)     		ty = 3232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7795 / 3232 ti = "14/7795/3232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7795/3232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7795 ÷ 214
    7795 ÷ 16384     		x = 0.47576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3232 ÷ 214
    3232 ÷ 16384     		y = 0.197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197265625 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15224759} λ = -0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90213617692383))-π/2
    2×atan(6.70019196128016)-π/2
    2×1.42264048902014-π/2
    2.84528097804029-1.57079632675     		φ = 1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7795 KachelY 3232 -0.15224759 1.27448465 -8.723144 73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 7796 KachelY 3232 -0.15186410 1.27448465 -8.701172 73.022592
    Unten links KachelX 7795 KachelY + 1 3233 -0.15224759 1.27437265 -8.723144 73.016174
    Unten rechts KachelX + 1 7796 KachelY + 1 3233 -0.15186410 1.27437265 -8.701172 73.016174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27448465-1.27437265) × R
    0.00011199999999989 × 6371000     		dl = 713.551999999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27448465-1.27437265) × R
    0.00011199999999989 × 6371000     		dr = 713.551999999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15224759--0.15186410) × cos(1.27448465) × R
    0.000383489999999986 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 713.405561535434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15224759--0.15186410) × cos(1.27437265) × R
    0.000383489999999986 × 0.292101732027017 × 6371000     		du = 713.667271873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27448465)-sin(1.27437265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.292101732027017)×R²
    abs(-0.15186410--0.15224759)×0.000107117204200091×R²
    0.000383489999999986×0.000107117204200091×6371000²
    0.000383489999999986×0.000107117204200091×40589641000000     		ar = 509145.337743713m²