Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7795 / 3231
↖ ↑ ↗
← N 73.029006°
W  8.723144°		 ← 713.14 m → N 73.029006°
W  8.701172°		 →
↑
713.30 m
↓
↑
713.30 m
↓
N 73.022592°
W  8.723144°		 ← 713.41 m →
508 777 m²		 N 73.022592°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475799560546875 y=0.197235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475799560546875 × 214)
    floor (0.475799560546875 × 16384)
    floor (7795.5)     		tx = 7795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197235107421875 × 214)
    floor (0.197235107421875 × 16384)
    floor (3231.5)     		ty = 3231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7795 / 3231 ti = "14/7795/3231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7795/3231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7795 ÷ 214
    7795 ÷ 16384     		x = 0.47576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3231 ÷ 214
    3231 ÷ 16384     		y = 0.19720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19720458984375 × 2 - 1) × π
    0.6055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90251967212079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15224759} λ = -0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90251967212079))-π/2
    2×atan(6.70276194547283)-π/2
    2×1.42269646801927-π/2
    2.84539293603855-1.57079632675     		φ = 1.27459661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27459661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.029006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7795 KachelY 3231 -0.15224759 1.27459661 -8.723144 73.029006
    Oben rechts KachelX + 1 7796 KachelY 3231 -0.15186410 1.27459661 -8.701172 73.029006
    Unten links KachelX 7795 KachelY + 1 3232 -0.15224759 1.27448465 -8.723144 73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 7796 KachelY + 1 3232 -0.15186410 1.27448465 -8.701172 73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27459661-1.27448465) × R
    0.000111959999999911 × 6371000     		dl = 713.297159999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27459661-1.27448465) × R
    0.000111959999999911 × 6371000     		dr = 713.297159999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15224759--0.15186410) × cos(1.27459661) × R
    0.000383489999999986 × 0.291887532213943 × 6371000     		do = 713.143935721681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15224759--0.15186410) × cos(1.27448465) × R
    0.000383489999999986 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 713.405561535434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27459661)-sin(1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291887532213943-0.291994614822817)×R²
    abs(-0.15186410--0.15224759)×0.000107082608874431×R²
    0.000383489999999986×0.000107082608874431×6371000²
    0.000383489999999986×0.000107082608874431×40589641000000     		ar = 508776.853028063m²