Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77949 / 84743
↖ ↑ ↗
← S 46.572079°
E 34.093322°		 ← 209.96 m → S 46.572079°
E 34.096069°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 46.573967°
E 34.093322°		 ← 209.96 m →
44 089 m²		 S 46.573967°
E 34.096069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594707489013672 y=0.646541595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594707489013672 × 217)
    floor (0.594707489013672 × 131072)
    floor (77949.5)     		tx = 77949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646541595458984 × 217)
    floor (0.646541595458984 × 131072)
    floor (84743.5)     		ty = 84743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77949 / 84743 ti = "17/77949/84743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77949/84743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77949 ÷ 217
    77949 ÷ 131072     		x = 0.594703674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84743 ÷ 217
    84743 ÷ 131072     		y = 0.646537780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594703674316406 × 2 - 1) × π
    0.189407348632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.59504073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646537780761719 × 2 - 1) × π
    -0.293075561523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.920724031002419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59504073} λ = 0.59504073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920724031002419))-π/2
    2×atan(0.398230605374513)-π/2
    2×0.378980106869868-π/2
    0.757960213739736-1.57079632675     		φ = -0.81283611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59504073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.093322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81283611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.572079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77949 KachelY 84743 0.59504073 -0.81283611 34.093322 -46.572079
    Oben rechts KachelX + 1 77950 KachelY 84743 0.59508867 -0.81283611 34.096069 -46.572079
    Unten links KachelX 77949 KachelY + 1 84744 0.59504073 -0.81286907 34.093322 -46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 77950 KachelY + 1 84744 0.59508867 -0.81286907 34.096069 -46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81283611--0.81286907) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81283611--0.81286907) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59504073-0.59508867) × cos(-0.81283611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687441504612084 × 6371000     		do = 209.962330252722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59504073-0.59508867) × cos(-0.81286907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 209.955019204814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81283611)-sin(-0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687441504612084-0.68741756737645)×R²
    abs(0.59508867-0.59504073)×2.39372356345413e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39372356345413e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39372356345413e-05×40589641000000     		ar = 44088.835786319m²