Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77948 / 84730
↖ ↑ ↗
← S 46.547528°
E 34.090576°		 ← 210.01 m → S 46.547528°
E 34.093322°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 46.549416°
E 34.090576°		 ← 210.01 m →
44 100 m²		 S 46.549416°
E 34.093322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594699859619141 y=0.646442413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594699859619141 × 217)
    floor (0.594699859619141 × 131072)
    floor (77948.5)     		tx = 77948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646442413330078 × 217)
    floor (0.646442413330078 × 131072)
    floor (84730.5)     		ty = 84730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77948 / 84730 ti = "17/77948/84730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77948/84730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77948 ÷ 217
    77948 ÷ 131072     		x = 0.594696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84730 ÷ 217
    84730 ÷ 131072     		y = 0.646438598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594696044921875 × 2 - 1) × π
    0.18939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59499280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646438598632812 × 2 - 1) × π
    -0.292877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.920100851307358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59499280} λ = 0.59499280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920100851307358))-π/2
    2×atan(0.398478851944812)-π/2
    2×0.379194355134585-π/2
    0.75838871026917-1.57079632675     		φ = -0.81240762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59499280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81240762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.547528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77948 KachelY 84730 0.59499280 -0.81240762 34.090576 -46.547528
    Oben rechts KachelX + 1 77949 KachelY 84730 0.59504073 -0.81240762 34.093322 -46.547528
    Unten links KachelX 77948 KachelY + 1 84731 0.59499280 -0.81244058 34.090576 -46.549416
    Unten rechts KachelX + 1 77949 KachelY + 1 84731 0.59504073 -0.81244058 34.093322 -46.549416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81240762--0.81244058) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81240762--0.81244058) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59499280-0.59504073) × cos(-0.81240762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687752627965606 × 6371000     		do = 210.013538613541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59499280-0.59504073) × cos(-0.81244058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687728700440757 × 6371000     		du = 210.00623205598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81240762)-sin(-0.81244058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687752627965606-0.687728700440757)×R²
    abs(0.59504073-0.59499280)×2.39275248491433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39275248491433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39275248491433e-05×40589641000000     		ar = 44099.5894073062m²