Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77945 / 84686
↖ ↑ ↗
← S 46.464349°
E 34.082337°		 ← 210.34 m → S 46.464349°
E 34.085083°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 46.466241°
E 34.082337°		 ← 210.33 m →
44 248 m²		 S 46.466241°
E 34.085083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594676971435547 y=0.646106719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594676971435547 × 217)
    floor (0.594676971435547 × 131072)
    floor (77945.5)     		tx = 77945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646106719970703 × 217)
    floor (0.646106719970703 × 131072)
    floor (84686.5)     		ty = 84686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77945 / 84686 ti = "17/77945/84686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77945/84686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77945 ÷ 217
    77945 ÷ 131072     		x = 0.594673156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84686 ÷ 217
    84686 ÷ 131072     		y = 0.646102905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594673156738281 × 2 - 1) × π
    0.189346313476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59484899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646102905273438 × 2 - 1) × π
    -0.292205810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917991627724075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59484899} λ = 0.59484899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917991627724075))-π/2
    2×atan(0.399320219941458)-π/2
    2×0.379920222488935-π/2
    0.75984044497787-1.57079632675     		φ = -0.81095588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59484899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.082337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81095588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.464349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77945 KachelY 84686 0.59484899 -0.81095588 34.082337 -46.464349
    Oben rechts KachelX + 1 77946 KachelY 84686 0.59489692 -0.81095588 34.085083 -46.464349
    Unten links KachelX 77945 KachelY + 1 84687 0.59484899 -0.81098890 34.082337 -46.466241
    Unten rechts KachelX + 1 77946 KachelY + 1 84687 0.59489692 -0.81098890 34.085083 -46.466241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81095588--0.81098890) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dl = 210.37042000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81095588--0.81098890) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dr = 210.37042000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59484899-0.59489692) × cos(-0.81095588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68880578643334 × 6371000     		do = 210.33513322116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59484899-0.59489692) × cos(-0.81098890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688781848343519 × 6371000     		du = 210.327823437458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81095588)-sin(-0.81098890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68880578643334-0.688781848343519)×R²
    abs(0.59489692-0.59484899)×2.39380898211516e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39380898211516e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39380898211516e-05×40589641000000     		ar = 44247.5214393178m²