Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77944 / 57080
↖ ↑ ↗
← N 22.614011°
E 34.079590°		 ← 281.94 m → N 22.614011°
E 34.082337°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.611476°
E 34.079590°		 ← 281.95 m →
79 485 m²		 N 22.611476°
E 34.082337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594669342041016 y=0.435489654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594669342041016 × 217)
    floor (0.594669342041016 × 131072)
    floor (77944.5)     		tx = 77944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435489654541016 × 217)
    floor (0.435489654541016 × 131072)
    floor (57080.5)     		ty = 57080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77944 / 57080 ti = "17/77944/57080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77944/57080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77944 ÷ 217
    77944 ÷ 131072     		x = 0.59466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57080 ÷ 217
    57080 ÷ 131072     		y = 0.43548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59466552734375 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.405354423187195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59480105} λ = 0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405354423187195))-π/2
    2×atan(1.49983398180657)-π/2
    2×0.982742636811882-π/2
    1.96548527362376-1.57079632675     		φ = 0.39468895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39468895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.614011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77944 KachelY 57080 0.59480105 0.39468895 34.079590 22.614011
    Oben rechts KachelX + 1 77945 KachelY 57080 0.59484899 0.39468895 34.082337 22.614011
    Unten links KachelX 77944 KachelY + 1 57081 0.59480105 0.39464470 34.079590 22.611476
    Unten rechts KachelX + 1 77945 KachelY + 1 57081 0.59484899 0.39464470 34.082337 22.611476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39468895-0.39464470) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39468895-0.39464470) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59480105-0.59484899) × cos(0.39468895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923116214297387 × 6371000     		do = 281.943452857593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59480105-0.59484899) × cos(0.39464470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923133228451063 × 6371000     		du = 281.94864941807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39468895)-sin(0.39464470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923116214297387-0.923133228451063)×R²
    abs(0.59484899-0.59480105)×1.70141536759427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70141536759427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70141536759427e-05×40589641000000     		ar = 79485.3144250789m²