Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77942 / 84718
↖ ↑ ↗
← S 46.524855°
E 34.074097°		 ← 210.10 m → S 46.524855°
E 34.076843°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 46.526745°
E 34.074097°		 ← 210.09 m →
44 145 m²		 S 46.526745°
E 34.076843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594654083251953 y=0.646350860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594654083251953 × 217)
    floor (0.594654083251953 × 131072)
    floor (77942.5)     		tx = 77942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646350860595703 × 217)
    floor (0.646350860595703 × 131072)
    floor (84718.5)     		ty = 84718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77942 / 84718 ti = "17/77942/84718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77942/84718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77942 ÷ 217
    77942 ÷ 131072     		x = 0.594650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84718 ÷ 217
    84718 ÷ 131072     		y = 0.646347045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594650268554688 × 2 - 1) × π
    0.189300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59470518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646347045898438 × 2 - 1) × π
    -0.292694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.919525608511917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59470518} λ = 0.59470518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919525608511917))-π/2
    2×atan(0.398708139975349)-π/2
    2×0.379392208810738-π/2
    0.758784417621476-1.57079632675     		φ = -0.81201191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59470518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.074097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81201191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.524855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77942 KachelY 84718 0.59470518 -0.81201191 34.074097 -46.524855
    Oben rechts KachelX + 1 77943 KachelY 84718 0.59475311 -0.81201191 34.076843 -46.524855
    Unten links KachelX 77942 KachelY + 1 84719 0.59470518 -0.81204489 34.074097 -46.526745
    Unten rechts KachelX + 1 77943 KachelY + 1 84719 0.59475311 -0.81204489 34.076843 -46.526745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81201191--0.81204489) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dl = 210.115580000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81201191--0.81204489) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dr = 210.115580000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59470518-0.59475311) × cos(-0.81201191) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.688039837856682 × 6371000     		do = 210.101241608429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59470518-0.59475311) × cos(-0.81204489) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.688015904789721 × 6371000     		du = 210.093933358518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81201191)-sin(-0.81204489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688039837856682-0.688015904789721)×R²
    abs(0.59475311-0.59470518)×2.39330669606908e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39330669606908e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39330669606908e-05×40589641000000     		ar = 44144.7764546704m²