Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77942 / 57089
↖ ↑ ↗
← N 22.591190°
E 34.074097°		 ← 281.93 m → N 22.591190°
E 34.076843°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 22.588654°
E 34.074097°		 ← 281.94 m →
79 500 m²		 N 22.588654°
E 34.076843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594654083251953 y=0.435558319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594654083251953 × 217)
    floor (0.594654083251953 × 131072)
    floor (77942.5)     		tx = 77942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435558319091797 × 217)
    floor (0.435558319091797 × 131072)
    floor (57089.5)     		ty = 57089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77942 / 57089 ti = "17/77942/57089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77942/57089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77942 ÷ 217
    77942 ÷ 131072     		x = 0.594650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57089 ÷ 217
    57089 ÷ 131072     		y = 0.435554504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594650268554688 × 2 - 1) × π
    0.189300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59470518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435554504394531 × 2 - 1) × π
    0.128890991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.404922991090614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59470518} λ = 0.59470518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404922991090614))-π/2
    2×atan(1.499187044852)-π/2
    2×0.98254348931672-π/2
    1.96508697863344-1.57079632675     		φ = 0.39429065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59470518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.074097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39429065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.591190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77942 KachelY 57089 0.59470518 0.39429065 34.074097 22.591190
    Oben rechts KachelX + 1 77943 KachelY 57089 0.59475311 0.39429065 34.076843 22.591190
    Unten links KachelX 77942 KachelY + 1 57090 0.59470518 0.39424639 34.074097 22.588654
    Unten rechts KachelX + 1 77943 KachelY + 1 57090 0.59475311 0.39424639 34.076843 22.588654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39429065-0.39424639) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39429065-0.39424639) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59470518-0.59475311) × cos(0.39429065) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.923269295813451 × 6371000     		do = 281.931386405785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59470518-0.59475311) × cos(0.39424639) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.923286297537037 × 6371000     		du = 281.936578086613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39429065)-sin(0.39424639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923269295813451-0.923286297537037)×R²
    abs(0.59475311-0.59470518)×1.70017235863185e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.70017235863185e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.70017235863185e-05×40589641000000     		ar = 79499.8740164459m²